302
DOC.
30
FOUNDATION
OF GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
787
spielt
dxu
die Rolle eines
beliebig
wählbaren
kontravarianten
Vektors.
Da ferner
guv=
gvu,
so
folgt
nach den
Betrachtungen
des
letzten
Paragraphen
hieraus,
daß
guv
ein
kovarianter
Tensor
zweiten Ranges
ist.
Wir
nennen
ihn
"Fundamentaltensor".
Im
folgenden
leiten wir
einige Eigenschaften
dieses Tensors
ab,
die
zwar
jedem
Tensor zweiten
Ranges eigen
sind; aber
die
besondere Rolle des Fundamentaltensors in
unserer Theorie,
welche
in der Besonderheit der
Gravitationswirkungen
ihren
physikalischen
Grund hat,
bringt es
mit
sich,
daß die
zu
ent-
wickelnden
Relationen
nur
bei dem Fundamentaltensor für
uns
von
Bedeutung
sind.
Der
kontravariante Fundamentaltensor.
Bildet
man
in dem
Determinantenschema
der
guv
zu jedem
guv
die Unterdetermi-
nante und
dividiert
diese durch die Determinante
g
=
|guv|
der
guv,
so
erhält
man
gewisse
Größen
guv
(=
guv),
von
denen wir
beweisen wollen,
daß
sie
einen
kontravarianten
Tensor bilden.
Nach
einem bekannten Determinantensatze
ist
(16)
guogra
=
Sur
wobei
das Zeichen
buv
1
oder 0
bedeutet,
je
nachdem
u
=
v
oder
uv
ist. Statt
des
obigen
Ausdruckes für d
s2
können
wir
auch
9uaSrodxudxr,
oder nach
(16)
auch
guogrtgatdxudxr
schreiben.
Nun bilden aber nach den
Multiplikationsregeln
des
vorigen
Paragraphen
die Größen
d£a
=
gua
dxu
einen
kovarianten
Vierervektor,
und
zwar (wegen
der will-
kürlichen Wählbarkeit der
d
xu)
einen
beliebig
wählbaren
Vierervektor. Indem wir ihn in
unseren
Ausdruck
einführen,
erhalten wir
ds2
=
9ard£ad£t.
Da dies
bei
beliebiger
Wahl des Vektors
dso
ein Skalar
ist
und
gar
nach seiner Definition in den Indizes
a
und
r
sym-
metrisch ist,
folgt
aus
den
Ergebnissen
des
vorigen
Para-
graphen,
daß
gax
ein
kontravarianter
Tensor ist.
Aus
(16)
folgt
noch,
daß
auch
duv
ein Tensor
ist,
den
wir den
gemischten
Fundamentaltensor
nennen
können.
51*