DOC.
30
FOUNDATION
OF GENERAL
RELATIVITY
303
788
A.
Einstein.
Determinante
des
Fundamentaltensors. Nach dem Multi-
plikationssatz
der
Determinanten ist
Andererseits
ist
Also folgt
(17)
9t,a9ar\
-
|y".l 19"
t
9ßm
9ar
-
IV
=
1.
Invariante
des Volumens.
Wir suchen
zuerst
das Trans-
formationsgesetz
der
Determinante
g
=
|guv|.
Gemäß
(11)
ist
dxpt
d
xy
dxa'
dar/
y**
Hieraus
folgt
durch
zweimalige Anwendung
des
Multiplikations-
satzes der
Determinanten
oder
g'
=: I !
ÖXy
9
uv\
=
dxp
dar/
dar'
a
I
y/-
d
xJ
y*•
Andererseits
ist
das
Gesetz der
Transformation
des Volum-
elementes
dr'=
dx1dx2dx3dx4
nach dem
bekannten
Jakobischen
Satze
d
r
dx"'
dxu
Durch
Multiplikation
der beiden letzten
Gleichungen
erhält
man
(18)
yjdr'
=
yydr.
Statt
g
wird im
folgenden
die
Größe
-g
eingeführt,
welche
wegen
des
hyperbohschen
Charakters des zeiträumlichen Kon-
tinuums stets
einen reellen
Wert hat.
Die
Invariante
-g
dr
ist
gleich
der Größe des
im
"örtlichen
Bezugssystem"
mit
starren MaBstäben und
Uhren
im
Sinne der
speziellen
Rela-
tivitätstheorie
gemessenen
vierdimensionalen Volumelementes.
Bemerkung
über
den Charakter
des
raumzeitlichen Kon-
tinuums. Unsere
Voraussetzung,
daß
im
unendlich Kleinen
stets
die
spezielle
Relativitätstheorie
gelte,
bringt
es
mit
sich,