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DOC.
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FOUNDATION
OF
GENERAL RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
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daß
sich
ds2
immer
gemäß
(1)
durch
die reellen Größen
dX1....dX4
ausdrücken läßt.
Nennen wir
dr0
das "natür-
liche"
Volumelement dX1dX2dX3dX4,
so
ist
also
(18a)
dr0
=
-
gdr.
Soll
an
einer
Stelle des vierdimensionalen Kontinuums
-g
verschwinden,
so
bedeutet
dies,
daß
hier einem end-
lichen Koordinatenvolumen ein unendlich kleines "natürliches"
Volumen
entspreche. Dies
möge nirgends
der
Fall
sein. Dann
kann
g
sein Vorzeichen
nicht
ändern; wir werden im Sinne
der
speziellen
Relativitätstheorie
annehmen,
daß
g
stets
einen
endlichen
negativen
Wert
habe. Es
ist
dies eine
Hypothese
über die
physikalische
Natur
des
betrachteten
Kontinuums
und
gleichzeitig
eine
Festsetzung
über die
Koordinatenwahl.
Ist aber
-g
stets
positiv
und
endlich,
so liegt
es
nahe,
die
Koordinatenwahl
a
posteriori
so zu
treffen,
daß diese
Größe
gleich
1
wird. Wir werden
später sehen,
daß
durch
eine solche
Beschränkung
der Koordinatenwahl eine bedeutende
Vereinfachung
der
Naturgesetze
erzielt werden
kann.
An
Stelle
von
(18)
tritt dann einfach
dt'
=
dr,
woraus
mit Rücksicht auf
Jakobis
Satz
folgt
(19)
d
x
1.
Bei dieser
Koordinatenwahl
sind also
nur
Substitutionen
der
Koordinaten
von
der Determinante
1
zulässig.
Es wäre aber irrtümlich,
zu glauben,
daß
dieser
Schritt
einen
partiellen
Verzicht
auf
das
allgemeine
Relativitäts-
postulat
bedeute. Wir
fragen
nicht:
"Wie
heißen
die
Natur-
gesetze,
welche
gegenüber
allen Transformationen
von
der
Determinante
1
kovariant sind?"
Sondern wir
fragen: "Wie
heißen die
allgemein
kovarianten
Naturgesetze?"
Erst
nach-
dem
wir diese
aufgestellt
haben,
vereinfachen wir ihren Aus-
druck
durch eine
besondere Wahl des
Bezugssystems.
Bildung
neuer
Tensoren vermittelst
des
Fundamentaltensors.
Durch
innere,
äußere
und
gemischte Multiplikation
eines
Tensors
mit
dem
Fundamentaltensor
entstehen Tensoren
anderen Charakters und
Ranges.