DOC.
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FOUNDATION
OF GENERAL RELATIVITY
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790
A. Einstein.
Beispiele:
Au=guaAa,
A
=guv
Auv.
Besonders sei
auf
folgende
Bildungen
hingewiesen:
A!"
$4,.
("Ergänzung"
des
kovarianten
bzw.
kontravarianten
Tensors)
und
B
=
f
qaß
A
uv
*'
fiv
2 aßo.
Wir
nennen
Buv
den
zu
Auv
gehörigen
reduzierten Tensor,
Analog
B~
__
Zr
Es
sei bemerkt,
daß
guv
nichts
anderes
ist
als
die
Ergänzung
von
guv.
Denn
man
hat
raffrßffaß=ff*"'Sa=ry-
§
9.
Gleichung
der
geodatischen
Linie
(bzw.
der Punkt-
bewegung).
Da das
"Linienelement"
ds
eine
unabhängig
vom
Koordi-
natensystem
definierte Größe
ist,
hat
auch die zwischen
zwei
Punkten
P1
und
P2
des vierdimensionalen Kontinuums
ge-
zogene
Linie,
für
welche
fds
ein
Extremum ist
(geodätische
Linie),
eine
von
der Koordinatenwahl
unabhängige
Bedeutung.
Ihre
Gleichung
ist
(20)
P2
*{
183
0.
P1
Aus
dieser
Gleichung
findet
man in
bekannter
Weise
durch
Ausführung
der
Variation
Vier
totale
Differentialgleichungen,
Welche
diesa
geodätische
Linie
bestimmen;
diese
Ableitung
soll der
Vollständigkeit
halber
hier
Platz
finden. Es sei
A
eine
Funktion der
Koordinaten
xv;
diese definiert eine Schar
von
Flächen,
welche die
gesuchte geodätische
Linie
sowie
alle ihr
unendlich benachbarten, durch die
Punkte
P1
und
P2 gezoge-
nen
Linien schneiden. Jede solche Kurve kann dann dadurch
gegeben
gedacht
werden,
daß
ihre, Koordinaten
xv
in Funk-
tion
von
A
ausgedrückt
werden.
Das Zeichen
O
entspreche
dem
Übergang von
einem
Punkte
der
gesuchten geodätischen