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DOC. 30 FOUNDATION
OF
GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie. 791
Linie
zu demjenigen
Punkte
einer benachbarten
Kurve,
welcher
zu
dem nämlichen
X
gehört.
Dann
läßt
sich
(20)
durch
(20a)
JSw
dX
=
0
-
dx"
dx
dl dl
ersetzen. Da aber
3w
s
=
-u,\YTt^^f
1
I
t dt/pr dxp
dx"
d*°+
s
9^-dis[ir)
sldxr\\dx?
1»
so
erhält
man
nach Einsetzen
von
d
w
in
(20a)
mit Rücksicht
darauf,
daß
ddxP~
~dT
nach
partieller Integration
(20b)
[14]
f
dIx 8x
=
0
J
a a
h
_
dx?
rl
1
dgdXfi
dxy
dl
1
w
2
w
ö
dl dl
Hieraus
folgt wegen
der
freien
Wählbarkeit
der
d
xo
das Ver-
schwinden
der
xo.
Also
sind
(20c)
x
=
0
die
Gleichungen
der
geodätischen
Linie.
Ist
auf der betrach-
teten
geodätischen
Linie
nicht
ds
=
0,
so
können wir als
Parameter
X
die auf der
geodätischen
Linie
gemessene "Bogen-
länge"
s
wählen. Dann wird
w
=
1,
und
man
erhält
an
Stelle
von
(20c)
[15]
(FXfx
,
dq^y dx" dx
1
dgßy
dx
dxv
~d**
Txl~ ~dl ~dl
~2
dx"
~dl
Ti
=
0,
oder durch
bloße
Änderung
der
Bezeichnungsweise
(20d)
(P
X fiv
d
Xfl
d
X¥
$an
ds
i
-
4-
•
ds ds
-
o,
a
wobei
nach
Christoffel
gesetzt
ist
(21)
9
PL
1
1
r
~ 2
l
dxy
dXp
dx.
Multipliziert
man
endlich
(20d)
mit
gat (äußere Multiplikation
bezüglich
r,
innere
bezüglich
o),
so
erhält
man
schließlich als
endgültige
Form der
Gleichung
der
geodätischen
Linie