DOC. 30 FOUNDATION OF
GENERAL
RELATIVITY 307
792
A.
Einstein.
(22)
r/i
$
4?
-
Hierbei
ist
nach
Christoffel
gesetzt
(23)
f;}
=
S
I~~'
La
§
10.
Die
Bildung
von
Tensoren durch Differentiation.
Gestützt
auf die
Gleichung
der
geodätischen
Linie können
wir
nun
leicht die Gesetze ableiten,
nach
welchen
durch
Diffe-
rentiation
aus
Tensoren
neue
Tensoren
gebildet
werden können.
Dadurch werden wir erst in den
Stand
gesetzt, allgemein
ko-
variante
Differentialgleichungen
aufzustellen. Wir erreichen
dies
Ziel
durch
wiederholte
Anwendung
des
folgenden
ein-
fachen Satzes.
Ist
in
unserem
Kontinuum
eine Kurve
gegeben,
deren
Punkte
durch die
Bogendistanz s von
einem
Fixpunkt
auf
der Kurve
charakterisiert
sind,
ist
ferner
p
eine
invariante
Raumfunktion,
so
ist auch
dp/ds
eine Invariante.
Der
Be-
weis
liegt
darin,
daß
sowohl dp
als
auch
ds
Invariante
sind.
Da
so
ist
auch
dd
dp
dxu
ds
= d
xh
ds
7
d
p
d
x"
*
- dx~
~Ts
eine
Invariante,
und
zwar
für
alle
Kurven,
die
von
einem
Punkte
des
Kontinuums
ausgehen,
d. h. für
beliebige
Wahl
des Vektors
der
dxu.
Daraus
folgt
unmittelbar,
daß
(24)
-
Au =ai
ein
kovarianter
Vierervektor
ist
(Gradient
von
q).
Nach
unserem
Satze ist ebenso
der
auf einer Kurve
ge-
nommene
Differentialquotient
y
=
dV
x
ds
eine
Invariante.
Durch Einsetzen
von
y
erhalten
wir
zunächst
-
da
(p
d
x^
dxv
d
(p
cl2
Xfx
d
Xp
dxr
ds ds
dx^
ds2
Hieraus
läßt
sich zunächst die
Existenz
eines Tensors
nicht
ableiten. Setzen wir
nun
aber
fest,
daß
die
Kurve,
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DOC. 30 FOUNDATION OF
GENERAL
RELATIVITY 307
792
A.
Einstein.
(22)
r/i
$
4?
-
Hierbei
ist
nach
Christoffel
gesetzt
(23)
f;}
=
S
I~~'
La
§
10.
Die
Bildung
von
Tensoren durch Differentiation.
Gestützt
auf die
Gleichung
der
geodätischen
Linie können
wir
nun
leicht die Gesetze ableiten,
nach
welchen
durch
Diffe-
rentiation
aus
Tensoren
neue
Tensoren
gebildet
werden können.
Dadurch werden wir erst in den
Stand
gesetzt, allgemein
ko-
variante
Differentialgleichungen
aufzustellen. Wir erreichen
dies
Ziel
durch
wiederholte
Anwendung
des
folgenden
ein-
fachen Satzes.
Ist
in
unserem
Kontinuum
eine Kurve
gegeben,
deren
Punkte
durch die
Bogendistanz s von
einem
Fixpunkt
auf
der Kurve
charakterisiert
sind,
ist
ferner
p
eine
invariante
Raumfunktion,
so
ist auch
dp/ds
eine Invariante.
Der
Be-
weis
liegt
darin,
daß
sowohl dp
als
auch
ds
Invariante
sind.
Da
so
ist
auch
dd
dp
dxu
ds
= d
xh
ds
7
d
p
d
x"
*
- dx~
~Ts
eine
Invariante,
und
zwar
für
alle
Kurven,
die
von
einem
Punkte
des
Kontinuums
ausgehen,
d. h. für
beliebige
Wahl
des Vektors
der
dxu.
Daraus
folgt
unmittelbar,
daß
(24)
-
Au =ai
ein
kovarianter
Vierervektor
ist
(Gradient
von
q).
Nach
unserem
Satze ist ebenso
der
auf einer Kurve
ge-
nommene
Differentialquotient
y
=
dV
x
ds
eine
Invariante.
Durch Einsetzen
von
y
erhalten
wir
zunächst
-
da
(p
d
x^
dxv
d
(p
cl2
Xfx
d
Xp
dxr
ds ds
dx^
ds2
Hieraus
läßt
sich zunächst die
Existenz
eines Tensors
nicht
ableiten. Setzen wir
nun
aber
fest,
daß
die
Kurve,

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