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DOC. 30 FOUNDATION
OF GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie. 793
auf welcher wir differenziiert
haben, eine
geodätische
Kurve
sei,
so
erhalten
wir
nach
(22)
durch Ersetzen
von d2xv/ds2:
=
(
ifiv\
d
p
\
dXfi
dxv
^
\ dXpdaty
\j
\
dxr]
ds ds
Aus
der Vertauschbarkeit der
Differentiationen nach
u
und
v
und
daraus,
daß
gemäß (23)
und
(21)
die Klammer
jVj
bezüglich
u
und
v
symmetrisch ist,
folgt,
daß der Klammer-
ausdruck
in
u
und
v
symmetrisch
ist.
Da
man von
einem
Punkt des
Kontinuums
aus
in
beliebiger
Richtung
eine
geo-
dätische Linie ziehen kann,
dxu/ds
also ein Vierervektor
mit
frei wählbarem
Verhältnis
der
Komponenten
ist,
folgt
nach
den
Ergebnissen
des
§
7,
daß
(25)
Auv =
-
fl)
4*-ÖXr
V
'
t*v
dxhdxv
I
I
ein
kovarianter
Tensor zweiten
Ranges
ist.
Wir haben also
das
Ergebnis gewonnen:
Aus dem
kovarianten
Tensor ersten
Ranges|
A
*=
d(p
/
dx^
können wir
durch Differentiation
einen
kovarianten
Tensor
zweiten
Ranges
(26)
fM
bilden. Wir
nennen
den Tensor
Auv
die
"Erweiterung"
des
Tensors
Au.
Zunächst können wir leicht
zeigen,
daß diese
Bildung
auch
dann
auf einen Tensor führt,
wenn
der Vektor
Au
nicht
als ein
Gradient darstellbar ist.
[Um
dies einzusehen,
bemerken wir zunächst,
daß
dq
dxu
ein
kovarianter Vierervektor
ist,
wenn
y
und
q
Skalare
sind.
Dies
ist
auch der
Fall für
eine
aus
vier solchen Gliedern
be-
stehende
Summe
o
ox,(1)
ax8
ox
falls
y(1)p(2)....y(4)y(4)
Skalare
sind.
Nun
ist
aber klar,
daß
sich
jeder
kovariante Vierervektor
in
der
Form
Su
darstellen
läßt. Ist
nämlich
Au
ein Vierervektor, dessen
Komponenten
läßt. Ist
nämlich
Ah
ein Vierervektor, dessen
Komponenten