DOC.
45 QUANTUM THEOREM
563
1917.]
Zum Quantensatz
von
Sommerfeld
und
Epstein.
89
Zusammenfassend können wir
sagen: Die
Anwendung
der
Quantenbedingung
11)
verlangt,
daß
derartige
Bahnen
existieren,
daß
die einzelne Bahn
ein
pi-Feld
bestimmt,
für
welches ein
Potential
J*
existiert.
§
5.
Der "rationelle
Koordinatenraum".
Es
ist
schon
bemerkt
worden,
daß die
pi
im
allgemeinen mehrwertige
Funk-
tionen der
qi
sind. Wir
betrachten
als einfaches
Beispiel
wieder
die ebene Umlaufbewegung eines Punktes unter der anziehenden
Wirkung
eines festen Zentrums. Der
Punkt
bewegt
sich dabei
derart,
daß sein Abstand
r vom
Attraktionszentrum
zwischen
einem
Minimalwert
r1
und einem Maximalwert
r2 periodisch pendelt.
Faßt
man
einen
Punkt
des Raumes
der
qi,
d.h.
einen
Punkt
der
durch die beiden Kreise mit den Radien
r1
und
r2
begrenzten
Ringfläche
ins
Auge, so
wird die
Bahnkurve im
Laufe der Zeit
unendlich oft
beliebig
nahe
an
ihm
vorbeikommen,
oder
-
etwas
ungenau ausgedrückt
-
durch ihn
hindurchgehen.
Aber
je
nach-
dem
der
Durchgang
auf
einem
Bahnteil
von
wachsendem
r
oder
auf einem Bahnteil
von
abnehmendem
r
stattfindet,
hat
die
radiale
Geschwindigkeitskomponente
verschiedenes
Vorzeichen;
die
pv
sind
zweiwertige
Funktionen der
qv.
Die damit verbundene
Unbequemlichkeit
für
die
Vorstellung
beseitigt man am
besten durch die bekannte
von
Riemann in die
Funktionentheorie
eingeführte
Methode.
Wir denken
uns
die Fläche
des
Kreisringes verdoppelt,
so
daß
zwei
kongruente,
kreisringför-
mige
Blätter
übereinanderliegen.
In dem oberen
Ringe
denken wir
uns
die Bahnteile mit
positivem
dr/dt,
in
dem
unteren die Bahn-
teile mit
negativem
dr/dt
eingezeichnet
nebst dem
zugehörigen
Vektorsystem
der
pv.
In den beiden Kreislinien denken wir
uns
die beiden
Blätter
miteinander
verbunden,
da die Bahn
jeweilen
von
einem
Kreisblatt in das andere
übergehen muß,
wenn
die
Bahnkurve einen
der
beiden
Grenzkreise berührt.
Längs
dieser
Kreise stimmen die
pv
auf beiden
Blättern
miteinander
überein,
wie
man
leicht einsieht. Auf
dieser
Doppelfläche
interpretiert
sind die
pv
nicht
nur
stetige,
sondern auch eindeutige
Funk-
tionen der
qv;
hierin
liegt
ihr
Wert.
[7]
Auf dieser
Doppelfläche
gibt
es
offenbar
zwei
Typen
ge-
schlossener
Kurven,
welche sich durch
stetige
Änderung
weder