414 DOC. 54 ADDITION TO GENERAL RELATIVITY
Einstein:
Ergänzung des Fundamentes der
allgemeinen
Relativitätstheorie
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formationen,
deren Invarianzcharakter
unter
der
Voraussetzung
der
Invarianz
von
ds2
= guvdxudxv gilt.
Wir verstehen
ferner
unter
»Weyl-
Tensor« bzw.
»Weyl-Invariante«
vom
Gewicht
n
einen
RIEMANN-Tensor
bzw. eine
Riemann-Invariante mit
folgender
zusätzlicher
Eigenschaft:
der
Wert der
Tensorkomponente
bzw. Invariante
multipliziert
sich mit
X",
wenn
man
die
guv
durch
Xguv
ersetzt,
wobei
X
eine
beliebige
Funktion
der
Koordinaten ist. Diese
Bedingung
läßt
sich
symbolisch
durch die
Gleichung
l\*g)
=
’T(g)
ausdrücken. Ist
nun
J
eine
nur von
den
guv
und
ihren
Ableitungen
abhängige
WEYL-Invariante
vom
Gewichte
-1,
so
ist
der*
=
Jg.'dxjlx,
(1)
eine
Invariante
vom
Gewichte 0,
d. h.
eine Invariante, die
nur
vom
Verhältnis der
guv
abhängt.
Die
gesuchte Verallgemeinerung
der
geo-
dätischen Linie ist dann
gegeben
durch die
Gleichung
d
j
(dtrj
=
o
.
(2)
Diese
Lösung setzt
natürlich die Existenz einer
Weyl-Invariante
von
der
genannten
Art
voraus.
Weyls
Untersuchungen
weisen den
Weg
zu
einer solchen. Er
hat
nämlich
gezeigt,
daß der Tensor
(g,i
Rt,.-+-9tn
Hu-g,m
Ru-gu
H¡J
i
(d- i)(d-
2)
(g.igirm- 9"9kt)H
(3)
ein WEYL-Tensor
vom
Gewicht
1
ist. Dabei
ist
Riklm
der
Riemann-
sche Krümmungstensor
Rkm =
gil
Riklm
der
durch
einmalige Verjüngung
aus
demselben
hervorgehende
Tensor zweiten
Ranges,
R der durch
nochmalige
Verjüngung
entstehende
Skalar,
d die Dimensionszahl.
Hieraus
geht sogleich
hervor,
daß
H
= HiklmHiklm
(4)
ein
WEYLscher
Skalar
vom
Gewichte
-2
ist. Es ist
also
J
=
VH
(5)
eine
WEYLsche
Invariante
vom
Gewichte
-1.
Dies
Ergebnis
in Ver-
bindung
mit
(1)
und
(2)
liefert eine
Verallgemeinerung
der
geodäti-
schen Linie nach
der
von
Wirtinger
angegebenen
Methode. Natür-
lich ist
für
die
Beurteilung
der
Bedeutung
dieses Resultates
und der
folgenden
die
Frage von
großer
Wichtigkeit,
ob
J
die
einzige
Weyl-
Invariante
vom
Gewichte
-1
ist, in
welcher keine höheren als
die
zweiteh
Ableitungen
der
guv
vorkommen.
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