DOC.
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PRINCETON LECTURES 503
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4
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festgesetzt,
z.
B.
gleich
1
gesetzt
werden
(Einheitsmaßstab).
Dann
sind die
Längen
aller
übrigen
Strecken bestimmt. Setzt
man
die
xv
linear
abhängig
von
einem
Parameter
y
xv
=
av
+
Abv,
so
erhält
man
eine
Linie,
welche alle
Eigenschaften
der Geraden der
euklidischen Geometrie besitzt.
Speziell
folgert
man
leicht,
daß
man
durch
n-maliges
Abtragen
einer Strecke
s
auf einer Geraden eine Strecke
von
der
Länge
n
.
s
erhält. Eine
Länge
bedeutet
also das
Ergebnis
einer
längs
einer Geraden
ausgeführten
Messung
mit Hilfe des
Einheits-
maßstabes;
sie
hat
ebenso wie die
gerade
Linie eine
vom
Koordinaten-
system
unabhängige
Bedeutung, wie
aus
dem
Folgenden hervorgeht.
Wir
kommen
nun zu
einem
Gedankengang,
der
in
analoger
Weise
in
der
speziellen
und
allgemeinen
Relativitätstheorie
eine Rolle
spielt.
Wir
fragen:
Gibt
es
außer
den verwendeten
kartesischen
Koordinaten
noch andere
gleichberechtigte?
Die Strecke
hat
eine
von
der Koordinaten-
wahl
unabhängige physikalische Bedeutung,
ebenso also
auch
die
Kugel-
fiäche,
welche
man
erhält
als Ort der
Endpunkte
aller
gleichen
Strecken,
welche
man von
einem
beliebigen
Anfangspunkt
des
Bezugsraumes
aus
abträgt.
Sind sowohl
xv
als auch
x'v (v von
1
bis
3)
kartesische Koor-
dinaten
unseres
Bezugsraumes,
so
wird die
Kugelfläche
in
bezug
auf
jene
beiden
Koordinatensysteme
durch die
Gleichungen
ausgedrückt:
2-^Æv
=
konst..............(2)
- konst.............(2a)
Wie
müssen
sich die
x'v
aus
den
xv
ausdrücken,
damit die
Gleichungen (2)
und
(2a) äquivalent
seien?
Denkt
man
sich die
x'v
in
Funktion
der
xv
ausgedrückt,
so
kann
man
für
genügend
kleine
Axv
nach dem Taylor-
schen
Satze setzen:
I
4x
=~~-4x.~-~--1
0*®v
Setzt
man
dies
in (2a)
ein und
vergleicht
mit
(1),
so
sieht
man,
daß
die
x'v
lineare
Gleichungen
der
xv
sein
müssen.
Setzt
man
demgemäß
Xv
=
ü
+
f-............(3)
oder
Xv
=
^jbvo¿ÍXfn.............(3a)
a
so
drückt
sich die
Äquivalenz
der
Gleichungen (2)
und
(2a)
in der
Form
aus
2dx'?
=
A82
(y
von
den
¿¡xv
unabhängig)..(2b)
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