DOC.
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PRINCETON LECTURES 505
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logisch Bedingtes ausspricht,
erkennt
man
durch
folgende
einfache Über-
legung, welche
von
Helmholtz herrührt:
Zwischen
n
Punkten
des Raumes
gibt
es 1/2n(n-1)
Abstände
guv;
zwischen diesen
und den
3n
Koordinaten
bestehen die Relationen
v
-
(-U
[fX)
X\
(v))^ (#2
(m)
(v))» ‘
n(n-1)/2
Gleichungen lassen sich
die
3n
Koordinaten
Aus
diesen
eliminieren, aus welcher Elimination mindestens
n(n-2)/2
-
3n
Glei-
chungen zwischen den
suV
folgen
müssen1). Da die
3ßv
meßbare Größen
sind, die
ihrer
Definition nach voneinander
unabhängig
sind,
brauchen
diese
Beziehungen
zwischen den
suv
a
priori
nicht
zu
bestehen.
Aus
dem
Vorhergehenden zeigt sich,
daß die
Transformations-
gleichungen (3), (4)
für die euklidische Geometrie eine
fundamentale
Bedeutung
besitzen,
indem
sie
den
Ubergang
von
einem kartesischen
Koordinatensystem zu
einem
anderen beherrschen. Das kartesische
Koordinatensystem
zeichnet sich
dadurch
aus,
daß sich in
bezug
auf
jedes
solche der meßbare Abstand
s
zweier
Punkte durch
die
Gleichung
s2
=
2
¿xi
ausdrückt. Sind
K(tv)
und
K(x'v)
zwei kartesische
Koordinatensysteme,
so
gilt
2^4=2^*?.
Die
rechte Seite ist der linken
identisch gleich
vermöge
der zwischen
x' und
x
bestehenden linearen
orthogonalen Transformationsgleichungen,
und
die rechte Seite
unterscheidet
sich
von
der linken
nur
dadurch,
daß
die
xv
durch
die
x'v
ersetzt sind.
Man
drückt
diesen Sachverhalt
durch
die
Aussage
aus:
EAx2v
ist
eine
Invariante
bezüglich
linearer
ortho-
gonaler
Transformationen.
Offenbar haben
in der euklidischen Geometrie
nur
solche
(und
alle
solche)
Größen eine
objektive
(von
der besonderen
Wahl
des
kartesischen
Systems
unabhängige) Bedeutung,
welche
sich
durch eine
Invariante
(bezüglich
linearer
orthogonaler Koordinaten)
aus-
drücken lassen. Hierauf
beruht
es,
daß die
Invariantentheorie, welche
sich mit den
Strukturgesetzen
der Invarianten
beschäftigt,
für die
ana-
lytische
Geometrie
von
Bedeutung
ist.
Als zweites
Beispiel
einer
geometrischen
Invariante
nenne
ich die
Größe
eines Volumens. Dasselbe
drückt
sich in
der Form
aus:
V =
JJj
dx1dx2dx3.
In
der
Tat ist nach
dem
Jakobischen
Transformationssatze
dX1
dx2
dx3,
1)
In
Wahrheit
sind
es
n(n-2)/2
-
3n
+
6
Gleichungen.
Invariante.
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