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PRINCETON LECTURES
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Hieraus
folgt zunächst, daB y
eine
Konstante
sein muß. Setzt
man
zunächst
y
=
1,
so
liefern
(2b)
und
(3a)
die
Bedingungen
^,bvabvß
=
0"ß.............(4)
wobei
dab
=
1
oder
daß
=
0 ist,
je
nachdem
a
=
ß
oder
u
#
ß.
Die
[11] Bedingungen
(4)
heißen
Orthogonalitätsbedingungen,
die
Transforma-
tionen (3), (4)
lineare
orthogonale
Transformationen.
Verlangt
man,
daß
s2
=
2ax3v für
jedes Koordinatensystem gleich
dem Quadrat
der
Länge
sei
und daß stets mit dem
gleichen
Einheitsmaßstabe
gemessen
werde,
so
muß
y
=
1
sein. Dann
sind die linearen
orthogonalen
Trans-
formationen die
einzigen,
welche den
Übergang
von
einem kartesischen
Koordinatensystem
eines
Bezugsraumes
zu
einem anderen vermitteln.
Man
erkennt,
daß bei
Anwendung
solcher
Transformationen
die
Gleichungen
einer Geraden wieder
in
die
Gleichungen
einer Geraden
übergehen.
Wir
bilden noch die
Umkehrung
der
Gleichungen
(3a),
indem wir
beiderseits mit
bVß
multiplizieren
und über
v
summieren.
Man
erhält
bvß
tfi
Xy
-
^
j
Öy
ab
y
A
¿f
31a
-
^
a
d
Xm
Xß
..(5)
v a a
Dieselben Koeffizienten
b
vermitteln also
auch
die inverse
Substitution
der
Axv.
Geometrisch
ist
bva
der Kosinus des Winkels zwischen der
[12]
x'v-Achse
und
der
xa-Achse.
Zusammenfassend können wir
sagen:
In
der euklidischen Geometrie
gibt
es
(in
einem
gegebenen Bezugsraume) bevorzugte
Koordinatensysteme,
die
kartesischen,
welche auseinander
durch
lineare
orthogonale
Trans-
formation
der
Koordinaten
hervorgehen.
In solchen Koordinaten
drückt
sich der mit dem Maßstab meßbare Abstand
s
zweier
Punkte
des
Bezugs-
raumes
in besonders
einfacher Weise
aus.
Auf
diesen
Begriff
des Ab-
standes läßt
sich
die
ganze
Geometrie
gründen.
In der
gegebenen
Dar-
stellung bezieht sich die Geometrie auf wirkliche
Dinge
(feste
Körper),
und
ihre
Sätze
sind
Behauptungen
über das Verhalten dieser
Dinge,
[13]
welche zutreffend
oder
auch unzutreffend
sein
können.
Gewöhnlich
pflegt
man
die Geometrie
so zu
lehren, daß eine Be-
ziehung
der
Begriffe zu
den
Erlebnissen nicht
hergestellt
wird. Es
hat
auch
Vorteile,
dasjenige, was
an
ihr
rein
logisch
und
von
der
prinzipiell
unvollkommenen
Empirie
unabhängig ist,
zu
isolieren.
Der reine Mathe-
matiker kann
sich damit
begnügen.
Er ist
zufrieden,
wenn
seine Sätze
richtig,
d.
h.
ohne
logische
Fehler
aus
den Axiomen
abgeleitet
sind. Die
Frage, ob
die euklidische Geometrie
wahr
ist oder
nicht,
hat
für ihn
keinen Sinn.
Für
unseren
Zweck
aber
ist
es
nötig,
den
Grundbegriffen
der Geometrie Naturobjekte
zuzuordnen;
ohne
eine
solche
Zuordnung
ist die Geometrie für den
Physiker
gegenstandslos.
Für
den
Physiker
hat
es
daher wohl einen Sinn, nach der
Wahrheit
bzw.
dem Zutreffen
der
geometrischen
Sätze
zu sprechen.
Daß die
so
interpretierte eukli-
dische Geometrie
nicht
nur
Selbstverständliches, d. h.
durch Definitionen