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DOC. 71
PRINCETON LECTURES
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Wir nehmen
an,
daß der
Impulssatz
und der
Energiesatz
für
den
Körper gelten. Impulsänderung
bzw.
Energieänderung
des
Körpers,
AIx,
AIy, AIz,
AE
des
Körpers
sind dann durch die Ausdrücke
ge-
geben:
=
j
dl^txdxdydz
- yjK1dxldx1dx3dxi
E
=
|
dl
j
Xdxdydx
= y
j'y
K4dx1dx2dx3dx4-
Da
das vierdimensionale Volumelement eine
Invariante
ist,
(K1,
K2,
K3,
K4)
einen Vierervektor
bilden, so
transformieren
sich
die
über
das schraffierte
Gebiet erstreckten vierdimensionalen
Integrale wie
Vierervektoren,
ebenso
die zwischen
l1
und
l2
erstreckten
Integrale,
weil die
nicht schraffierten
Teile des Streifens
zu
den
Integralen
keine
Beiträge
liefern.
Es
folgt
daraus,
daß
AIx, AIy,
AIz,
jAE
ebenfalls einen Vierervektor bilden.
Da
nun
die Größen selbst den
gleichen
Transformationscharakter
haben
werden
wie
ihre
Zuwuchse, so
wird
der
Inbegriff
der vier Größen
Ix,
Iy,
Iz,
jE
selbst Vektorcharakter
besitzen, welche
Größen sich auf
einen Momentan-
zustand
des
Körpers
(z.
B.
zur
Zeit
l
=
l1)
beziehen.
Dieser Vierervektor wird sich aber auch durch
die
Masse
m
und
durch die
Geschwindigkeit
des
Körpers
(letzteren
als materiellen
Punkt
betrachtet)
ausdrücken
lassen.
Um
diesen Ausdruck bilden
zu
können,
bemerken wir
zunächst,
daß
-
dsa
=
drs
=
-
(dx?
-f dx|
-f-
dxj)
-
dx?
=
dia(l
-
ga) (38)
eine
Invariante
ist,
die
sich
auf
ein
unendlich kurzes Stück der vier-
dimensionalen Linie
bezieht,
welche die
Bewegung
des materiellen
Punktes darstellt. Die
physikalische Bedeutung
der Invariante dx ist
leicht
anzugeben.
Wählt
man
nämlich die Zeitachse
so,
daß sie in die
Richtung
des
betrachteten
Liniendifferentials fällt, oder
-
wie
man
dies auch
ausdrückt
-
transformiert
man
den
materiellen
Punkt
auf
Ruhe,
dann wird
dr
=
dl,
wird also durch eine relativ
zu
dem
materiellen
Punkt
ruhende,
mit ihm zusammenfallende
(Licht-)
Sekundenuhr
ge-
messen.
Man nennt
deshalb
t
die
Eigenzeit
des
materiellen Punktes.
dr ist
also im
Gegensatz
zu
dl
eine
Invariante
und ist
für
Bewegungen,
deren
Geschwindigkeit
klein ist
gegen
die
Lichtgeschwindigkeit,
mit
dl
praktisch
gleichwertig.
Man
sieht
also,
daß
[48]
dXci
= -
(39)