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PRINCETON LECTURES
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auf der
Ebene
die
kartesischen Koordinaten
x1, x2
unmittelbar mit
einem
Einheitsmaßstab
gemessene Längen
bedeuten.
Gauß hat
in
der Flächen-
theorie die
Schwierigkeit
dadurch
überwunden,
daß
er
beliebige, an
sich
nur
die
Stetigkeitszusammenhänge
ausdrückende
krummlinige
Koor-
dinaten auf der Fläche einführte und
diese
dann erst
zu
den metrischen
Eigenschaften
der Fläche in
Beziehung
setzte.
Analog
führen
wir in
der
allgemeinen
Relativitätstheorie
beliebige
Koordinaten
x1, x2, x3,
x4
ein,
welche die
Raumzeitpunkte
derart
eindeutig numerieren,
daß
raum-
zeitlich benachbarten
Ereignissen
benachbarte Werte der Koordinaten
zugeordnet werden;
sonst soll diese
Koordinatenwahl
beliebig
sein.
Wir
werden
dem
Relativitätsprinzip
in weitestem
Sinne dadurch
gerecht,
[80]
daß
wir den Gesetzen eine solche
Form
geben,
daß
sie
bezüglich jedes
derartigen (vierdimensionalen) Koordinatensystems gelten,
d. h.
daß
die
sie
ausdruckenden
Gleichungen bezüglich beliebiger
Transformationen
kovariant sind.
Der
wichtigste
Vergleichspunkt
der
Gaußschen
Flächentheorie und
der
allgemeinen
Relativitätstheorie
liegt
in
der
Metrik,
auf
welche
die
Begriffe
beider Theorien
in
der
Hauptsache
sich stützen. Im Falle
der
Flächentheorie ist
Gauß’
Gedankengang
der
folgende.
Die
ebene
Geometrie
läßt
sich
auf
den
Begriff
des
(physikalisch
bedeutsamen, weil
mit starren
Maßstäben unmittelbar
meßbaren)
Abstandes ds
zweier
unwesentlich naher Punkte
gründen.
Bei
passender (kartesischer)
[81]
Koordinatenwahl ist dieser Abstand durch die Formel
ds2
=
dx21
+
dx22
gegeben.
Auf diese
Größe
lassen
sich die Begriffe
der Geraden
als
der
kürzesten Linie
(tf
[
ds
=
0),
der
Strecke,
des
Kreises,
des
Winkels
gründen,
aus
denen
sich
die euklidische Geometrie der Ebene aufbaut.
Die
Geometrie auf einer
anderen,
stetig gekrümmten
Fläche läßt sich
analog
entwickeln,
wenn man
beachtet,
daß ein infinitesimal kleiner
Teil der Fläche bis auf relativ unendlich
Kleines
als
eben
betrachtet
werden kann. Auf einem solchen kleinen Flächenstück
gibt
es
kar-
tesische Koordinaten
X1, X2,
und der mit
einem
Maßstab
gemessene
Ab-
stand zweier Punkte auf ihm ist durch
ds2
=
dX21
dX22
gegeben.
Führt
man
auf der Fläche
beliebige krummlinige
Koordinaten
x1,
x2
ein,
so
sind die
dX1,
dX2
linear
durch
die
dx1,
dx2
ausdrückbar.
Es
gilt
deshalb überall auf der Fläche
ds2
=
g11dx21
+
2g12dx1dx2
+
g22dx22,
wobei
die
g11,
g12,
g22
durch
die
Natur der Fläche und die Koordinaten-
wahl bestimmt
sind;
sind diese Funktionen
bekannt,
so
ist damit auch
bekannt, wie
Netze
starrer
Stäbchen auf der Fläche
gelegt
werden
können,
d. h.
es
läßt sich
auf
diesen Ausdruck
für
ds2
die Geometrie
der Fläche
gründen, genau
wie
auf
den
entsprechenden
Ausdruck die
Geometrie der
Ebene.
Vergleich
des
ana-
lytischen
Problems
der
allgemeinen
Relativitats-
theorie mit
dem der
GauBschen
Flachen-
geometrie.