540 DOC. 71 PRINCETON LECTURES
-
41
-
Analog
verhält
es
sich mit
dem
vierdimensionalen
Raum-Zeit-
Kontinuum der
Physik.
Für einen in
einem
Gravitationsfelde frei
fallenden Beobachter existiert in seiner unmittelbaren
Umgebung
das
Gravitationsfeld nicht. Wir werden also ein infinitesimal kleines Gebiet
des raumzeitlichen Kontinuums stets als
ein
galileisches
betrachten
können.
Fur ein
solches
unendlich kleines Gebiet wird
es
ein
Inertial-
system (mit
den räumlichen
Koordinaten
X1, X2,
X3,
und der zeitlichen
Koordinate
X4)
geben,
relativ
zu
welchem
wir die
Gesetze
der
speziellen
Relativitätstheorie als
gültig
anzusehen haben. Es wird
also die
un-
mittelbar mit Einheitsmaßstäben und -uhren meßbare
Größe
dX21
+dX22
+
dX23
-dX24
oder auch das
Negative
dieser Größe
ds2
=
-
dX21
-dX22
-
dX23-dX24.......(54)
eine fur
zwei
benachbarte
Ereignisse (Punkte
des
vierdimensionalen
Kontinuums) eindeutig
bestimmte
Invariante
sein,
wenn nur
überall
mit Einheitsmaßstäben
(bzw.
Uhren)
operiert wird,
die sich als
einander
gleich
herausstellen,
wenn man
sie
zusammenbringt
und aneinander
anlegt
(bzw.
ihren Ablauf
vergleicht).
Hier
ist die
physikalische
Vor-
aussetzung wesentlich,
daß
die
relative
Ausdehnung
zweier
Maßstäbe
bzw.
die relative
Ganggeschwindigkeit
zweier Uhren
im
Prinzip un-
abhängig
ist
von
ihrer
Vorgeschichte. Diese
Voraussetzung
ist aber
in
der
Erfahrung
sehr sicher
begründet;
wäre sie
nicht
zutreffend,
so
könnte
es
keine scharfen
Spektrallinien geben,
da
die
einzelnen
Atome
desselben Elementes sicherlich nicht die
gleiche
Vorgeschichte
haben,
und daß
es
bei
Annahme relativer Variabilität der
Einzelgebilde je
nach
der
Vorgeschichte
auch
ungereimt
wäre anzunehmen,
daß die
Masse bzw.
Eigenfrequenzen
der einzelnen
Atome
desselben Elementes
jemals
ein-
ander
gleich
gewesen
wären.
[82]
In endlicher
Ausdehnung
sind die zeiträumlichen
Gebiete im
allgemeinen
nicht
galileisch,
so
daB
sich das Gravitationsfeld durch
keine Koordinatenwahl für endliche Gebiete fortschaffen läßt. Es
gibt
also
auch keine Koordinatenwähl, für
welche
in endlichen Gebieten
die
metrischen Verhältnisse der
speziellen
Relativitätstheorie obwalten.
Immer aber besteht
zu
zwei
benachbarten Punkten des Kontinuums
(Ereignissen)
die
obige
Invariante ds.
Diese
läßt sich aber
in
beliebigen
Koordinaten ausdrücken.
Berücksichtigt man,
daß sich die lokalen
dXv
linear
durch
die
Koordinatendifferentiale
dxv
ausdrücken lassen
müssen,
so
erhält
man
ds2
in
der
Form
ds2
=
guvdxudxv............(55)
Die
Funktionen
guv
beschreiben
in
bezug
auf das
gewählte
willkür-
liche
Koordinatensystem
sowohl die
metrischen
Verhältnisse
im
raumzeit-
lichen Kontinuum als auch das Gravitationsfeld. Wie in der
speziellen
Relativitätstheorie
hat
man
zeitartige
und
raumartige
Linienelemente
Die
Funda-
mental-
invariante
und
ihre
physi-
kalische
Bedeutung.