DOC. 71 PRINCETON LECTURES
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im
vierdimensionalen
Kontinuum
zu
unterscheiden, bei der
von uns
bevorzugten
Zeichenwahl haben
zeitartigo
Linienelemente
reelles,
raum-
artige imaginäres
ds.
Zeitartige
ds können unmittelbar durch
eine
passend gewählte
Einheitsuhr
gemessen
werden.
Nach
dem
Gesagten
ist
es
klar, daß die Formulierung der all-
gemeinen
Relativitätstheorie
eine
Verallgemeinerung
der Invarianten-
und Tensorentheorie
zur
Voraussetzung
hat;
man
fragt
nach
dem
Bau
derjenigen
Gleichungen,
welche
bezüglich beliebiger
Punkttransforma-
tionen kovariant sind.
Der
so
verallgemeinerte
Tensorkalkül wurde
von
den
Mathematikern
lange
vor
der Relativitätstheorie entwickelt.
Zuerst dehnte Riemann den
Gaußschen
Gedankengang
auf Kontinua
beliebiger
Dimensionszahl
aus; er
hat
die
physikalische Bedeutung
dieser
Verallgemeinerung
der Geometrie
Euklids
mit
prophetischem
Blick
vorausgesehen.
Dann
folgte
der
Ausbau der Theorie
in
Form
des
Tensor-
kalküls insbesondere durch
Ricci
und
Levi-Civita.
Eine
kurze
Darlegung
der
wichtigsten
hierher
gehörigen
mathematischen
Begriffe
und
Operationen möge
hier
Platz
finden.
Wieder
bezeichnen
wir vier
(als
Funktionen der
xv
in
bezug
auf
jedes Koordinatensystem definierte)
Größen als
Komponenten
Av eines
(kontravarianten)
Vektors,
wenn
sie sich bei Koordinatenänderung
trans-
formieren
wie die
Koordinatendifferentiale
dxv.
Es
gilt
also
0
Xy
Al*
=
A»..............(56)
Außer diesen
kontravarianten Vektoren
gibt
es
aber
auch
kovariante.
Sind
Bv
die
Komponenten
eines
kovarianten
Vektors,
so
soll
die
Trans-
formationsregel gelten
Bu=dxv/dxuBv
.............
(57)
Die Definition des
kovarianten Vektors ist
so
gewählt,
daß
er
zusammen
mit
einem
kontravarianten
einen
Skalar bilden kann nach
dem
Schema
j
=
Bv Av (über v
summiert).
Es ist nämlich
r; Jtt
=
|*é
B«
Aß
=
BaAa.
*
dXf*
CXß
0
m
Speziell
sind
die
Ableitungen
dQ/dxa
eines
Skalars
(p
Komponenten
eines
kovarianten
Vektors,
der mit den
Koordinatendifferentialen
den
Skalar
dp/dxadxa
bilden;
man
erkennt
an
diesem
Beispiel
die
Natürlichkeit
der
Definition
des
kovarianten Vektors.
Auch
hier
gibt es
Tensoren
von beliebigem
Range,
die
bezüglich
jedes
Index
kovarianten
oder kontravarianten Charakters
sein können,
welcher
Charakter
wie
bei Vektoren durch
die
Stellung
des Index
be-
Allgemeine
Tensoren-
theorie.
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