554 DOC.71 PRINCETON LECTURES
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betrachteten
Punkte
guv
=
gßv
=
-
diUV(= 1
bzw.
=
0, je
nachdem
fi = v
oder
fi
zf=
v)
und die ersten
Ableitungen
der
g^v
und
gtv
ver-
schwinden.
Für
diesen
Punkt
wollen wir das Verschwinden der Diver-
genz
der linken Seite verifizieren.
In
ihm verschwinden die
Kompo-
nenten
Igß,
so
daß wir
nur
das Verschwinden
von
a
-
~xc I
[101]
zu
beweisen haben.
Beim
Einsetzen
von
(88)
und
(70)
in
diesen Aus
druck
sieht
man,
daß
nur
jene
Glieder
übrig bleiben,
in welchen
dritte
Ableitungen
der
guv
auftreten. Da
die
guv
durch
-8uv
zu
ersetzen
sind,
so
erhält
man
nunmehr
nur
wenige Glieder,
von
denen
man
leicht
sieht,
daß
sie einander
aufheben. Da die
gebildete
Größe Tensor-
charakter
hat,
so
ist ihr Verschwinden damit auch für
jedes
andere
Koordinatensystem
bewiesen,
natürlich
auch für
jeden
(vierdimensionalen)
Punkt.
Der
Energiesatz
der Materie
(97)
ist
also
eine
mathematische
Folge
der
Feldgleichungen
(96),
Um
nun zu
erfahren,
ob
die
Gleichungen (96)
mit der
Erfahrung
vereinbar
sind,
müssen wir
vor
allem
nachsehen,
ob
sie
in
erster Nähe-
rung
zur
Newtonschen
Theorie führen. Zu diesem Zweck haben wir
diese
Gleichungen
nach mehreren
Gesichtspunkten
durch
Näherungen
zu
ersetzen.
Wir
wissen
schon,
daß in Gebieten
von
großer Ausdehnung
(Planetensystem)
mit
gewisser Näherung
die euklidische Geometrie und
das Gesetz der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit
gelten. Dies kommt,
wenn
wir
wie
in der
speziellen
Relativitätstheorie
die
vierte Koordinate
imaginär
nehmen,
darauf
hinaus,
daß
wir
setzen
g^y =
-
+ ............(98)
wobei
die
gegen
1
so
klein
sind,
daß wir höhere Potenzen der
(und
ihrer
Ableitungen) vernachlässigen
können. Tun wir
dies,
so
erfahren wir
zwar
nichts über die
Struktur
des Gravitationsfeldes
bzw.
des metrischen Raumes in kosmischen
Dimensionen,
wohl aber über den
Einfluß der nahen Massen auf die
physikalischen Erscheinungen.
[102]
Bevor wir diese
Näherung
durchführen,
formen wir
(96)
um. Genäherte
Multipliziert
man
(96)
mit
g,iv
(und
summiert über
fi
und
v),
so
erhält
p®'™8
d"r
man
mit Rücksicht auf die
aus
der Definition
der
g'iV
folgende
Relation
gieichnngen.
gfiygiV
-
4
die
Gleichung
R
=
xg^T^y
=
7t
T.
Setzt
man
diesen
Wert
von
R
in
(96) ein,
so
erhält
man
Rpv
=
-
'/.(Tuy
-
|Qnv
T)
=
-
xT;v
......
(96a)