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GRAVITY AND MATTER
Man
könnte
nun
zunächst
bezweifeln,
ob
(1a) zusammen
mit
(6)
das
gesamte
Feld
hinreichend bestimmen.
In
einer
allgemein
relati-
vistischen Theorie braucht
man zur
Bestimmung
von
n
abhängigen
Variabeln
n-4
voneinander
unabhängige
Differenzialgleichungen,
da
ja
in
der
Lösung
wegen
der freien Koordinatenwählbarkeit
vier
ganz
willkürliche
Funktionen aller Koordinaten auftreten müssen.
Zur
Be-
stimmung
der 16
Abhängigen
guv
und
puv
braucht
man
also
12
von-
einander
unabhängige Gleichungen.
In der Tat sind aber
9 von
den
Gleichungen (1a)
und
3
von
den
Gleichungen
(6)
voneinander unab-
hängig.
Bildet
man von (1a)
die
Divergenz, so
erhält
man
mit
Rücksicht
darauf,
daß die
Divergenz von
Rix-1/2
gixR
verschwindet
[15]
T
i
dR
---5-
=
o.
4x
dxo
(4a)
Hieraus erkennt
man
zunächst,
daß der
Krümmungsskalar
R in den vier-
dimensionalen
Gebieten, in
denen die
Elektrizitätsdichte verschwindet,
konstant ist. Nimmt
man an,
daß alle diese Raumteile
Zusammen-
hängen,
daß also die Elektrizitätsdichte
nur
in getrennten
Weltfäden
von
null verschieden
ist,
so
besitzt
außerhalb dieser
Weltfäden der
Krümmungsskalar
überall einen konstanten Wert
R0. Gleichung
(4a)
läßt aber auch
einen
wichtigen
Schluß
zu
über das Verhalten
von
R
innerhalb der Gebiete mit nicht verschwindender elektrischer Dichte.
Fassen
wir,
wie
üblich,
die Elektrizität als
bewegte
Massendichte
auf,
indem wir
setzen
dx
-
vj~
-~-~-~
(7)
so
erhalten wir
aus (4a)
durch innere Multiplikation mit
J0
wegen der
Antisymmetrie
von quv
die Beziehung
~dR
dx~
= 0-
~
(8)
Der Krümmungsskalar ist
also
auf
jeder
Weltlinie der Elektrizitats
bewegung konstant.
Die
Gleichung (4a)
kann
anschaulich durch die
Aussage
interpretiert
werden: Der Krummungsskalar R spielt die Rolle
eines
negativen Druckes, der auBerhalb der elektrischen Korpuskeln
einen konstanten
Wert
R0
hat. Innerhalb
jeder
Korpuskel besteht
ein
negativer Druck (positives
R-R0),
dessen Gefalle der elektrodyna-
mischen Kraft
das
Gleichgewicht
leistet. Das
Druckminimum bzw. das
Maximum
des
Krummungsskalars
im
Innern der Korpuskel
andert
sich
nicht mit der
Zeit.