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DOC.
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PRINCETON LECTURES
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wobei der
Integrand im
letzten Integral
die
Funktionaldeterminante
der
x’v
nach den
xv
bedeutet,
welche nach
(3) gleich
der Determinante
t^y]
der
Substitutionskoeffizienten
hva
ist. Bildet
man
die Determinante der
Öfta
der
Gleichung(4),
so
erhält
man
unter
Anwendung
des
Multiplikations-
theorems der Determinanten
1 =
|Ä0/!| =
|2Öva&v/a| =
|^v|ai
IM
=
±1.
...
(6)
V
Beschränkt
man
sich
auf
diejenigen
Transformationen,
welche
die
De-
terminante
+
1
haben1) (und
nur
solche
gehen
aus
stetiger
Änderung
des
Koordinatensystems hervor),
so
ist also V eine
Invariante.
Vektor. Die
Invariante
ist
aber
nicht die
einzige
Form,
welche
gestattet, Vektor.
von
der
speziellen
Wahl der
kartesischen Koordinaten
unabhängige
Aussagen
zum
Ausdruck
zu
bringen.
Andere
Ausdrucksmittel sind die
Vektoren
und Tensoren. Es handle sich
z.
B.
um
die
Aussage,
daß
Punkte
mit den
(laufenden)
Koordinaten
xv
auf einer Geraden
liegen.
Dann
gilt
xv
-
av
=
A
Bv (v
von
1
bis
3).
Ohne
Beschränkung
der
Allgemeinheit
kann
hierbei
2
Sí
=
1
gesetzt
werden.
Multipliziert
man
die
Gleichungen
mit
bßV
[vgl. Gleichungen
(3a)
und
(5)]
und summiert über
v, so
erhält
man
Xß
-
Aß
-
À
B'ß,
wobei
Bß
-.
i}ß v
Bv
;
-:
bp
v
Av
gesetzt
ist.
Dies
sind die
Gleichungen
der Geraden
bezüglich
eines
zweiten
kartesischen
Koordinatensystems
K'.
Sie
haben dieselbe Form
wie
die
Gleichungen bezüglich
des ursprünglichen
Koordinatensystems;
es
zeigt
sich
so,
daß die Gerade eine
vom
Koordinatensystem unabhängige
Bedeutung
hat. Formal
betrachtet beruht dies darauf, daß
sich die
Größen
(xv
-
Av)
-
A
Bv
transformieren
wie Streckenkomponenten
Axv.
Den
Inbegriff
dreier
Größen,
die
für
jedes
kartesische
Koordinatensystem
definiert
sind und sich transformieren
wie
Streckenkomponenten,
nennt
man
einen
Vektor. Verschwinden die drei
Komponenten
eines Vektors
in
bezug
auf ein kartesisches
Koordinatensystem,
so
verschwinden
sie
auch
für
jedes
andere, weil
die
Transformationsgleichungen homogen
sind. So
kann
man
die
Bedeutung
des
Vektorbegriffes
erfassen,
ohne
auf die
geometrische
Veranschaulichung
rekurrieren
zu
müssen.
Das
geschilderte
Verhalten der
obigen Gleichung
der Geraden
drückt
man
1)
Es
gibt
also zweierlei
kartesische
Koordinatensysteme,
welche
man
als
"Rechtssysteme"
und
"Linkssysteme"
bezeichnet,
Der Unterschied zwischen
beiden ist
jedem
Physiker
und
Ingenieur geläufig.
Interessant
ist,
daß
man
Rechtssysteme
bzw.
Linkssysteme an
sich nicht
geometrisch
definieren
kann,
wohl
aber
die
Gegensätzlichkeit
beider
Typen.