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PRINCETON LECTURES
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[34]
Relationen der euklidischen dreidimensionalen
Geometrie
nur gedanklich-
abstrakter
Natur sind und
keineswegs
identisch mit den
Vorstellungs-
gebilden des Gesichts-
und
Tastsinns.
Die Nichtspaltbarkeit
des vier-
dimensionalen
Kontinuums der
Ereignisse
involviert
aber
keineswegs
die
Gleichwertigkeit
der
räumlichen Koordinaten mit der Zeitkoordinate.
Wir
haben vielmehr
im
Auge
zu
behalten, daß die zeitliche Koordinate
ganz
anders
physikalisch
definiert ist als die räumlichen Koordinaten.
Die Relationen
(22)
und
(22a),
deren
Gleichsetzung
die
Lorentz-Trans-
formationen
definiert,
zeigen
ferner eine Verschiedenheit der Rolle der
Zeitkoordinate mit den räumlichen
Koordinaten,
indem die Glieder At2 das
umgekehrte
Zeichen haben
wie
die räumlichen Glieder
Ax12, Ax22, Ax32.
Bevor wir die
Bedingung
weiter
analysieren,
welche die Lorentz–
Transformationen
definieren,
führen
wir statt
der
Zeit
t
die Lichtzeit
l
=
ct
ein,
damit in den
später aufzustellenden Formeln die
Konstante
c
nicht
explizite
auftrete. Dann ist die
Lorentz-Transformation zunächst
dadurch
definiert,
daß
sie
die
Gleichung
Jx12
+
Ax22
+
Ax32
-
Al2
=
0.......(22b)
zu
einer
kovarianten
Gleichung
macht, d.
h.
zu
einer
Gleichung,
welche
gegenüber
jedem
Inertialsystem
erfüllt
ist,
wenn
sie
für
die ins
Auge
gefaßten
beiden
Ereignisse (Abgang
und
Ankunft
des
Lichtstrahles)
gegenüber
einem Inertialsystem
erfüllt
ist. Endlich
führen
wir mit
Minkowski
statt der reellen Zeitkoordinate
l
=
ct die
imaginäre
Zeit-
koordinate
x4
=
il
=
ict
ein.
Dann
lantet
unsere
die
Lichtfortpflanzung definierende
Gleichung,
deren Kovarianz durch die
Lorentz-Transformation
herbeigeführt
werden
soll:
EAx2v
=
Ax12
+
Ax22
+
Ax32
+
Ax42
=
0
....(22c)
Diese Kovarianz
von
(22b)
ist
jedenfalls erfüllt1),
wenn
wir die
weitergebende
Bedingung
durch die
Transformation
befriedigen,
daß
s3
= Ax12
+
Ax22
+
Ax32
+
Ax42
.......(23)
eine
Invariante
sei.
Diese
Bedingung
wird
nur
durch
lineare
Trans-
formationen
erfüllt, d. h.
durch solche
vom Typus
X'u= Ou+
bfiaXa
............(24)
wobei die Summation über
a
von
a
= 1
bis
a
=
4
zu
erstrecken ist.
Ein Blick
auf
die
Gleichungen
(23)
und
(24)
zeigt,
daß
die
so defi-
nierten Lorentz-Transformationen
abgesehen
von
der Dimen-
sionszahl
und
den Realitätsverhältnissen identisch sind mit
den
Translations-
und
Drehungstransformationen
der enkli-
dischen
Geometrie. Auch
hier
folgert man,
daß die Koeffizienten
bMx
die
Bedingungen:
buabva
=
buv
=
baubuv
..........(25)
1)
Daß
diese Spezialisierung in
der
Natur
der
Sache
liegt,
wird
spater
ersichtlich werden. Lorentz-Transformation.
03/12/2002
CPAE
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