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PRINCETON LECTURES
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zeichnet
wird. So
bezeichnet
beispielsweise
Auv
einen
Tensor
zweiten
Ranges,
der
bezüglich
des
Index
u kovarianten, bezüglich des
Index
v
kontravarianten Charakters
ist. Der
Tensorcharakter bedeutet das
Be-
stehen der
Transformationsgleichung
.
v*
0
Æa
0
Xv
,ß
dxß
.............(58)
Tensorbildung
durch Addition und Subtraktion
von
Tensoren
gleichen Ranges
und
gleichen
Charakters
wie bei
der
Invariantentheorie
der
orthogonalen
linearen
Substitutionen,
z.
B.
Av"+Bl
=
C;.............(59)
Beweis des Tensorcharakters
von Cuv
auf Grund
von (58).
Tensorbildung
durch
Multiplikation
unter
Wahrung
der Charak-
tere der Indizes ebenfalls
wie bei
der Invariantentheorie
der linearen
orthogonalen
Transformationen.
Beispiel:
Al
Bar=
CZ"r..............(60)
Der Beweis fließt
direkt
aus
dem
Transformationsgesetz.
Tensorbildung
durch
Verjüngung bezüglich
zweier
Indizes
von
verschiedenem
Charakter.
Beispiel:
A^ot
-
Bat..........
............(61)
Der Tensorcharakter
von
Avuot bedingt
den Tensorcharakter
von
Bor
Beweis:
.pr
0
Xu
0
Xfi
0
Zs
&
Zf
ß
dz,
cxt
=
0^¡
dXßWodVr-
- dx'a
dx'r
Auch hier
hat
die
Symmetrie-
und
Antisymmetrie-Eigenschaft eines
Tensors
bezüglich
zweier Indizes
vom
gleichen
Charakter
invariante
Bedeutung.
Damit ist
alles
Wesentliche über
die
algebraischen
Eigenschaften
der Tensoren
gesagt.
Der
Fundamentaltensor.
Aus
der Invarianz
von
ds2
bei
belie-
biger
Wahl der
dxv
im
Zusammenhang
mit der mit
(55) verträglichen
Symmetriebedingung folgt,
daß die
guv
Komponenten
eines
symmetrischen
kovarianten Tensors sind
(Fundamentaltensor). Man
denke
sich
nun
die Determinante
g
der
guv
gebildet,
außerdem die durch
g
dividierten,
zu
den
einzelnen
guv,
gehörigen
Unterdeterminanten
guv
gebildet,
deren
Kovarianzcharakter zunächst noch unbekannt ist.
Dann ist
9/ap
9**
=
K
1
bzw.
=
0, je
nachdem
œ
=
ß
oder
a. zfc
ß).
.
(62)
Bildet
man
die unendlich kleinen Größen
(kovariante Vektoren)
¿tu
=
gßtdxa.............
(63)
multipliziert
mit
guv
und addiert
über
u,
so
erhält
man
mit Rücksicht
auf
(62)
dxß =
g^d^.............(64)