DOC.
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PRINCETON LECTURES 507
Tensor.
8
-
so aus:
Die
Gleichung
der Geraden ist
bezüglich
linearer
orthogonaler
Transformationen kovariant.
Nun soll
kurz
gezeigt werden,
daß
es geometrische
Realitäten
gibt,
die auf den
Begriff
des
Tensors führen. Es
sei
P0
Mittelpunkt
einer
Fläche zweiten
Grades,
P
ein
beliebiger
Punkt
der
Oberfläche,
£v
seien
die
Projektionen
der
Strecke
P0-P auf
die
Koordinatenachsen.
Dann ist
auv
=
1,
uv
oder
-
wie wir
von
nun an
in allen
analogen
Fällen
unter
Weglassung
des Summenzeichens
schreiben
wollen,
indem wir festsetzen, daß
die
[18]
Summation über
zweimal
auftretende
Indizes selbstverständlich
sei
-
auvfufv
=
1
die
Gleichung
der
Fläche. Die Größen
auv
bestimmen die
Fläche
bis
auf
die
Lage
des
Mittelpunktes
in
bezug
auf das
gewählte
kartesische
Koordinatensystem
vollständig.
Aus dem bekannten
Transformations-
gesetz für
die
Ev
[Gleichung
(3a)]
für lineare
orthogonale
Transforma-
tionen findet
man
leicht
für
die
auv
das
Transformationsgesetz1)
dat
=
ba,u
bu
v
auv.
Dies
Transformationsgesetz
ist
homogen
und
vom
ersten
Grade in den
auv.
Die
auv
nennt
man vermöge
dieses
Transformationsgesetzes Komponenten
eines
Tensors
vom
zweiten
Range (letzteres
wegen
der Zwei-Zahl der
Indizes).
Verschwinden sämtliche
Komponenten
Uuv
eines Tensors in
bezug
auf
ein kartesisches
System,
so
verschwinden
sie
auch
in
bezug
auf
jedes
andere kartesische
System.
Die
Fläche zweiten Grades wird
ihrer
Form und
Lage
nach durch diesen Tensor
(a)
beschrieben.
Es lassen sich
Tensoren
von
beliebig
hohem
Range
(Indexanzahl)
analytisch
definieren. Es erweist sich als
möglich
und
zweckmäßig,
Vektoren
als Tensoren
vom
Range
1,
Invarianten
(Skalare)
als Tensoren
vom
Range
0
anzusehen.
Mit
Rücksicht
darauf
läßt sich die
Aufgabe
der
Invariantentheorie
dahin formulieren: Nach welchen Gesetzen lassen
sich
aus gegebenen
Tensoren
neue
bilden? Diese Gesetze
wollen
wir
nun
betrachten,
um
sie
in
der
Folge
anwenden
zu
können.
Dabei
handelt
es
sich zunächst
nur um
die Tensoren
bezüglich
linearer
ortho-
gonaler
Transformationen,
wie sie den
Übergang von
einem kartesischen
System
zu
einem anderen desselben
Bezugsraumes
beherrschen. Da die
Gesetze im
ganzen
von
der Dimensionszahl
unabhängig
sind,
wollen wir
letztere
vorläufig
unbestimmt lassen
(Dimensionszahl
n).
Definition.
Wenn
ein
Gebilde
bezüglich jedes
kartesischen
Ko-
ordinatensystems eines
Bezugsraumes
von
n
Dimensionen durch na Zahlen
1)
Die
Gleichung
a'otSoEc
=
1
läßt sich
vermöge (5)
durch a'orbuobvtsosr
=
1
ersetzen,
woraus
die
Behauptung unmittelbar
folgt.