508
DOC.
71
PRINCETON LECTURES
-
9
-
AuvQ...
(a
=
Zahl der
Indizes)
definiert
ist,
so
bilden diese die Kom-
ponenten eines Tensors
vom
Range a,
wenn
ihr
Transformationsgesetz
A'u'v'e'...
=
bu'ubv'vbe'e...Auve...
..........(7)
ist.
Bemerkung:
Aus
dieser Definition
folgt,
daß
Auve...
BuCvDe...
.........(8)
eine
Invariante
ist, falls
(B), (C),
(D)
...
Vektoren sind.
Umgekehrt
kann der
Tensorcharakter
von (A)
gefolgert
werden,
wenn
bekannt
ist,
daß
die
obige
Bildung
für
beliebige
Wahl der Vektoren
(B), (C)
usw.
auf eine Invariante führt.
Addition und
Subtraktion.
Durch Addition und
Subtraktion
entsprechender Komponenten
von
Tensoren
gleichen Ranges
entsteht
wieder ein Tensor
von
gleichem Range:
Auve...
+
Buve...
=
Cuve...
...........(9)
Beweis
aus
der
obigen
Definition
des
Tensors.
Multiplikation. Aus einem Tensor
vom Range
a
und
einem Tensor
vom Range ß
erhält
man
einen
Tensor
vom
Range
a
+
ß,
indem
man
alle
Komponenten
des
ersten mit allen
Komponenten
des zweiten multi-
pliziert:
Tuve...apg...
=
Auve...
BUbY...
........(10)
Verjüngung. Aus einem Tensor
vom Range
a erhält
man
einen
Tensor
vom Range
a
- 2,
indem
man
zwei
bestimmte Indizes
einander
gleich
setzt und über diesen nunmehr einheitlichen Index
summiert:
Tg... =
AUüQ...__
(=
ZAuue...)
........(11)
Beweis:
bua
aßy...
=
ftafl....
Aaby...
Aa
ayay
Zu diesen
elementaren
Rechnungsregeln
tritt
noch die der Tensor-
bildung
(Erweiterung)
durch Differentiation
Tuve...a=dAuve.../dxa...........(12)
Wenn
(A)
ein Tensor
vom
Range a
ist,
so
ist
(T) ein Tensor
vom
Range
a
+
1.
Der Beweis
folgt
aus
den
Transformationsgleichungen
(3a)
und
(5),
aus
welch
letzteren
man
schließt:
d/dx'v=d/dxa,dxa/dx'v=bvad/dxa..............(13)
Gemaß diesen
Rechnungsregeln
lassen sich
aus
Tensoren
(bezüglich
linearer
orthogonaler
Transformationen)
neue
ableiten.
Symmetrieeigenschaften
der
Tensoren.
Tensoren heißen
symmetrisch
bzw.
antisymmetrisch bezüglich
zweier
ihrer
Indizes u und
[19]
[20]