DOC.
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PRINCETON
LECTURES 509
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10
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v,
wenn
die
beiden
Komponenten,
die
aus
der
Vertauschung
der Indizes
u und
v
auseinander
hervorgehen,
einander
gleich
bzw.
entgegengesetzt
gleich
sind.
Bedingung
der
Symmetrie:
Auve
=
Avue
Bedingung
der
Antisymmetrie:
Auve
=
-Avue
Satz: Der
Charakter
der
Symmetrie
bzw.
Antisymmetrie
besteht
unabhängig
von
der
Koordinatenwähl,
durch
welchen Satz
er
erst wirk-
lich Bedeutung
erhält. Beweis
aus
der
Definitionsgleichung
der Tensoren.
Spezielle
Tensoren.
I.
Die Größen
dQa
[Gleichung
(4)]
sind
Tensorkomponenten
(Fundamentaltensor).
Beweis:
Setzt
man
in die
rechte Seite
der Transformations-
gleichungen
A'uv
= buabvBAuB
für
AuB
die Größen
SuB
(=1
bzw.
=
0,
je
nachdem
a
oder
ß
oder
a
=
ß),
so
erhält
man
A'uv
=
buabva
=
suv.
Die
Berechtigung
des
letzten
Gleichheitszeichens
erhellt,
wenn man
(4)
auf die inverse Substitution
(5)
anwendet.
II. Es
gibt
einen
bezüglich
aller
Indexpaare antisymmetrischen
Tensor
(Suva...),
dessen
Rang
a
gleich
der Dimensionszahl
n
ist,
und dessen
Komponenten gleich
+
1
oder
-
1
sind,
je
nachdem
uvQ... eine
gerade
oder
ungerade
Permutation
von
1
2 3 ... ist.
Beweis mit Hilfe des oben bewiesenen Satzes
beo|
=
1.
Diese
wenigen
einfachen Sätze bilden
-
wie sich im
folgenden
zeigen
wird
-
den invariantentheoretischen
Apparat
für den Aufbau
der
Gleichungen
der vorrelativistischen
Physik
und
der
speziellen
Relativitätstheorie.
Wir
haben
gesehen,
daß
es
für
die räumliche
Beschreibung
in der
[21]
vorrelativistischen
Physik
eines
Bezugskörpers
bzw.
Bezugsraumes
und
in diesem eines kartesischen
Koordinatensystems
bedarf.
Wir
können
diese beiden
Begriffe
in einen
verschmelzen,
indem
wir
uns
das
karte-
sische Koordinatensystem
als ein kubisches
Stabgerüst denken,
welches
aus
lauter
Stäben
von
der
Länge
1
aufgebaut ist. Die
Gitterpunkte
dieses Gerüstes haben
ganzzahlige
Koordinaten. Daß die Stäbe
eines
solchen Gitters alle die
Länge 1
haben,
folgt
aus
der Fundamental-
beziehung
s2
=
zx21
+
zx22
+
zx23.
Zur zeitlichen
Beschreibung
bedürfen wir
ferner
einer
Einheitsuhr,
die
etwa
im
Anfangspunkt
unseres
kartesischen
Koordinatensystems
(Stab-
gerüstes) aufgestellt sei.
Findet
irgendwo
ein
Ereignis
statt,
so
können
wir ihm drei Koordinaten
xv
und
einen Zeitwert
t
zuschreiben,
wenn
von
dem
Ereignis
feststeht,
welche Uhrzeit
t
der
im Koordi-
natenursprung befindlichen
Uhr ihm
gleichzeitig
sei. Wir