DOC. 71 PRINCETON LECTURES
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Da
die
Verhältnisse der
dEu
frei wählbar und
die
dXß
sowie die
dEu
Vektorkomponenten
sind,
folgt daraus,
daß
die
gBu
Komponenten
eines
kontravarianten
Tensors
sind1) (kontravarianter
Fundamentaltensor).
Hieraus
folgt
vermöge
(62)
auch der Tensorcharakter
von
da
(gemischter
Fundamentaltensor). Vermittelst
des Fundamentaltensors kann
man
statt Tensoren
mit
kovariantem Indexcharakter
solche mit
kontra-
variantem Indexcharakter einführen und
umgekehrt. Beispiele:
A*
=
guttJa
g
ti
n
M"
Aß =
Tß =
nav
y
¿fivT
Voluminvariante.
Das Volumelement
J
dx1
dx2
dx3 dx4
=
dx
ist keine Invariante.
Denn
es
ist nach
dem
Jacobischen
Satze
dx'
-
dx'ß
dxy
dx.
..............(65)
Bildet
man
nämlich
Man
kann aber dx
zu
einer
Invariante
ergänzen.
die
Determinante der Größen
,
(i
Xa
dXß
9uv
=
0ÏT
9aa‘
so
erhält
man
nach
zweimaliger
Anwendung
des
Multiplikationssatzes
der Determinanten
-3
dXV
9 dx',,
0
Xß
•
IffavI
=
0
9'
- |
9hv\ =
Hieraus
folgt
die Invariante
ÿg'dz'^ÿgdx.............(66)
Bildung
von
Tensoren
durch
Differenzieren.
Erwiesen
sich
die
algebraischen Operationen
zur
Tensorbildung
ähnlich einfach
als bei
dem
Spezialfall
der Invarianz
gegenüber
linearen
orthogonalen
Trans-
formationen,
so
sind
im
allgemeinen
Falle
die
invarianten Differential-
operationen
leider
beträchtlich
komplizierter.
Es
liegt dies
an folgendem.
Ist
Au ein
kontravarianter
Vektor,
so
sind
dessen
Transformations–
koeffizienten
dx'u/dxv
nur
dann
vom
Orte
unabhängig,
wenn
die
Trans-
formation
eine
lineare ist.
Dann transformieren
sich
die
Vektorkompo-
1)
Multipliziert
man
(64)
mit
dx'a/dxB,
summiert über
ß
und
ersetzt
die
dEu.
durch Transformation auf das
gestrichene System, so
erhält
man dx'a
=dx'adx'a/dxudxBguBdE'a.
Hieraus
folgt
die
Behauptung,
da
nach (64)
gleich-
zeitig dx'a
=
g**
d£'a
gelten
muß,
und
zwar
beide
Gleichungen
für
jede
Wahl der
dE'a.