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DOC. 71 PRINCETON LECTURES
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nenten
Au +
dAu/dxa
dxa
in
einem
benachbarten Punkte
wie
die
Au
selbst,
woraus
dann der
Vektorcharakter
des
Vektordifferentials und der Tensor-
charakter
von
dAu/dxa
folgt.
Sind aber die
dx'u/dxv
variabel,
so
gilt
dies
nicht mehr.
Daß
es
jedoch
auch
im
allgemeinen
Falle invariante Differential-
operationen
an
Tensoren
gibt,
erkennt
man am
befriedigendsten
auf
folgendem zuerst
von
Levi-Civita
und
Weyl
eingeschlagenen
Wege.
Es sei
(Au)
kontravarianter
Vektor,
dessen
Komponenten
in
bezug auf
das
Koordinatensystem
der
xv gegeben
seien.
P1
und
P2
seien zwei
infinitesimal benachbarte Punkte
des Kontinuums. Für die infinitesi-
male
Umgebung
des Punktes
P1
gibt
es
nach
unseren
Betrachtungen
Koordinatensysteme
der
Xy,
für
welche
sich
das
Kontinuum euklidisch
verhält
(bei
imaginärer X4-Koordinate).
Seien
Au(1)
die
Komponenten
des
Vektors
im
Punkte
P1.
Denke ich
mir
im
Punkte
P2
unter
Benutzung
des
Lokalsystems
der
Xv
einen Vektor mit denselben Koordinaten
ab-
getragen
(Parallelvektor
durch
P2), so
ist dieser Parallelvektor
eindeutig
bestimmt durch den Vektor
im
Punkte
P1
und
die
Verschiebung.
Wir
nennen
diese
Operation,
deren
Eindeutigkeit
aus
dem
Folgenden
hervor-
gehen wird,
die Parallelverschiebung
des Verktors
Au
von
P1
nach dem
infinitesimal benachbarten
P2.
Bilden wir die vektorielle
Differenz des
Vektors
(Au)
im Punkte
P2
und
des
durch Parallelverschiebung
aus
P1
in
P2
erhaltenen
Vektors,
so
erhalten
wir
einen
Vektor,
der
als Diffe-
rential
des
Vektors
(Au)
für
die
gegebene Verschiebung (dxv)
aufgefaßt
werden kann.
Diese
Vektorverschiebung
läßt
sich
natürlich auch
vom
Koordinaten-
system
der
xv aus
betrachten. Sind Av
die Koordinaten
des
Vektors
in
P1,
Ar
+
dAv
die
Koordinaten des über
die
Strecke
(dxv)
nach
P2
parallel
verschobenen Vektors,
so
verschwinden in
diesem
Falle die
ÖAV
nicht.
Von
diesen Größen
(die
nicht
Vektorcharakter
haben) wissen wir,
daß
sie linear und
homogen von
den
dxv
und
von
den
Av
abhangen
mussen.
Wir
setzen
demgemäß
an
SAV
-
-
rlßAadxp.............
(67)
Ferner läßt
sich
aussagen,
daß
die
TvaB
in
bezug
auf
die
Indizes
«
und
ß symmetrisch
sein müssen.
Denn
aus
der
Veranschaulichung
mit
Hilfe
des
euklidischen
Lokalkoordinatensystems
läßt
sich entnehmen,
daß
bei
Verschiebung
eines Elementes
d(1)xv
längs eines
zweiten Ele-
mentes
d(2)Xy
dasselbe
Parallelogramm
beschrieben
wird,
wie
bei einer
Verschiebung
von d(2)Xr
längs
d(1)xv.
Es
muß
nämlich sein:
d®x*
4-
(Tx"
-
riß
dWxa
dWx0) = dPxv
(d®*,
_
rlsdWxa
d«Xß),
woraus
nach
Vertauschung
der
Summationsindizes
«
und
ß
auf der
rechten
Seite die
Behauptung folgt.
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