DOC. 71 PRINCETON
LECTURES 545
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Da
die
Größen
guv
alle
metrischen
Eigenschaften des
Kontinuums
bestimmen, müssen sie
auch
die
Größen
Faß
bestimmen.
Betrachtet
man
die Invariante
des
Vektors
Av,
nämlich das
Quadrat seines
Betrages
gßvAfiA*,
welcher
eine
Invariante
ist,
so
darf
sich
dieser
bei Parallelverschiebung
des
Vektors nicht ändern.
Man
hat also:
0
-
S(gMVA»A*) =
'^AiA''dxa
+
g^A^SA*
-f
g^SA*,
OXa,
oder nach
(67)
(
-
9m
a
-
9*f
I’Ma^A^A'dXa-
0.
Bei
der
Symmetrie
des
Klammerausdruckes
bezüglich
der Indizes
ft
und
v
kann
diese Gleichung bei beliebiger
Wahl der Vektoren
(Au)
und
dxv
nur
dann
gelten,
wenn
die
Klammer
für
alle Indexkombinationen
verschwindet. Durch
zyklische Vertauschung
der Indizes
ft, v, a
erhält
man so
im
ganzen
drei
Gleichungen,
aus
denen
man
mit Rücksicht auf
die
Symmetrieeigenschaft
der
T)",.
erhält:
P» ]
=
ffaßTfiv.......(68)
wobei
nach
Christoffel
die
Abkürzung eingeführt
ist
[auv]=(dguv+dgxv+dguv) (69)
Multipliziert
man
(68) mit
gaa
und addiert über
«,
so
erhält
man
[auv]=(dguv+dgxv+dguv)
(70)
wobei
¡V|
die
Christoffelschen
Symbole
zweiter Art sind.
Damit
sind
die Größen
F
aus
den
guv
abgeleitet.
Die
Gleichungen (67)
und
(70)
bilden das
Fundament für
die
folgenden
Überlegungen.
Erweiterung
der Tensoren.
Ist
(Au
+
dAu)
der
von
P1
nach
P2
infinitesimal
parallel
verschobene
Vektor,
(Au +
dAu)
der Vektor
Au
im
Punkte
P2, so
ist die
Differenz
dieser
beiden
d A»
-
ö
A*
=
(^
-j-
ri.
Aa)
dxa
[85]
ebenfalls
ein
Vektor.
Da dies bei
beliebiger
Wahl
der
dx0
der Fall
ist,
so
ist
i»
-n*A°...........(71)
ein Tensor, den wir als die
Erweiterung
des
Tensors
ersten
Ranges
(Vektors)
bezeichnen. Durch
Verjüngen
dieses Tensors erhält
man
die