546 DOC. 71 PRINCETON LECTURES
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Divergenz
des kontravarianten Tensors
Au.
Dabei hat
man zu
berück-
sichtigen,
daß
gemäß
(70)
1
a«"
^Saa
-
_L dVg
"
Ÿ9
*
(72)
Setzt
man
ferner
A*\g
=
«*.
. .
(73)
welche Größe
wir mit
Weyl
als kontravariante Tensordichte1) ersten
Ranges
bezeichnen,
so
folgt,
daß
U=dUu/dXu .............(74)
eine skalare Dichte ist.
Wir
erhalten das
Gesetz der
Parallelverschiebung
für
den
ko-
varianten Vektor
Bu,
indem
wir
festsetzen,
diese soll
so vorgenommen
werden,
daß bei
dam
Akt der
Parallelverschiebung
der Skalar
cp
=
ungeändert
bleibt, daß
also
A^ÖBn-1-
Bp
ô
A»
bei
jeder
Wahl
von (A")
verschwindet.
Man erhält
so
ôBf,-
r1"Aadxa............(75)
Hieraus
ergibt
sich
für
die
Erweiterung
des
kovarianten
Vektors
auf demselben
Wege,
der
zu
(71)
geführt
hat,
Bu,
a
-
'dB,,
dxa
r;"Ba
..........(76)
Durch
Vertauschung
der Indizes
u
und
o
und
Subtraktion erhält
man
den
antisymmetrischen
Tensor
W/kj
-
dBf,
dxa
öBa
dz,.
* - -
(77)
Die
Erweiterung
von
Tensoren
zweiten und höheren
Ranges
findet
man
nach dem
Verfahren,
nach
welchem
(75)
abgeleitet
ist.
Sei
z.
B.
(AaT)
ein kovarianter Tensor zweiten
Ranges.
Dann ist AatEaFT
ein
Skalar,
wenn
E und
F
Vektoren sind. Dieser Ausdruck darf durch
die
ö-Verschiebung
nicht
geändert werden;
formuliert
man
dies,
so
erhält
man
mit
Benutzung
von
(67)
8
Aaz
und daraus die
gesuchte
Erweiterung
Aar;
g
-
dA"
dXn
-
r"e
Aar
-r*Aao
(78)
1)
Dieser Ausdruck
rechtfertigt
sich dadurch, daß
A^^fgAx
=
31"dx
Tensorcharakter
hat.
Jeder
Tensor
verwandelt
sich durch
Multiplizieren
mit
Yg
in
eine Tensordichte. Wir verwenden für Tensordichten
große gotische
Buchstaben.
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