DOC. 71 PRINCETON
LECTURES 547
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Damit das
allgemeine
Bildungsgesetz
der
Erweiterung
der Tensoren
klar
heraustrete, seien noch zwei
analog
ableitbare
Erweiterungen
hin-
geschrieben:
.
t
ai
-i-
neA%.........(79)
fl Aov
Äa;0 -
+
r:aA°*......(80)
Das
allgemeine Bildungsgesetz
springt
in
die
Augen.
Wir
leiten
aus
diesen
Formeln
einige
andere
ab,
welche
für
die
physikalische
Anwendung
der Theorie
von
Interesse sind.
Für
den
Fall,
daß
Aar
antisymmetrisch ist, folgt
durch
zyklische
Vertauschung
und
Addition
der
in
allen
Indexpaaren antisymmetrische
Tensor
J...........
Ô
35g
ö
P(f
Ô
........(81)
Setzt
man
in
(78)
für
Aar den
Fundamentaltensor
gBr
ein,
so
ver-
schwindet
die
rechte Seite
identisch; analoges gilt
für
(80)
bezüglich
gor;
d. h. die
Erweiterungen
des Fundamentaltensors verschwinden.
Daß
dies
so
sein
muß,
erkennt
man
im
lokalen
Koordinatensystem
unmittelbar.
Für
den
Fall,
daß Aor
antisymmetrisch
ist, erhält
man aus (80)
durch
Verjüngung
nach
x
und
p
=W..............(82)02lor
Im
allgemeinen
Fall
folgen
aus (79)
und
(80)
durch
Verjüngung
nach
t
und
p
die
Gleichungen
Ä.
=
U
-
............(83)
fl
QJfiïDt
«Ia
=
..........(84)
Der
Riemannsche
Tensor. Ist
eine
vom
Punkte
F
des Konti-
nuums
nach
dem
Punkte G reichende Kurve
gegeben,
so
kann
man
einen
in
U
gegebenen
Vektor Au
längs
der
gegebenen
Kurve
parallel
bis
G
verschieben. Ist das Kontinuum
ein euklidisches
(allgemeiner:
sind
bei
passender
Koordinatenwahl
die
guy
konstant),
so
hängt
der als Resultat
dieser
Verschiebung
in
G
erhaltene
Vektor
nicht ab
von
der Wahl
der p und
G
verbindenden Kurve. Sonst aber
hängt
das
Ergebnis
vom
Verschiebungswege
ab.
In
diesem
Falle erleidet
ein
Vektor also dadurch
eine
Veränderung
AAu
(seiner Richtung,
nicht seiner
Größe),
daß
er
von
einem
Punkte
P
einer
geschlossenen
Kurve
aus
längs
der Kurve nach P
zurückgeführt
wird.
Diese
Vektoränderung
JAP
- Jet
Ar
o
[88]
[89]