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DOC. 71 PRINCETON LECTURES
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wollen
wir berechnen. Ähnlich
wie
bei
dem Satz
von
Stokes
über das
Linienintegral
eines
Vektors über eine
geschlossene
Kurve laßt
sich das
Problem reduzieren auf das
der
Integration
über
eine
geschlossene
Kurve
mit
unendlich kleinen Lineardimensionen; auf
diesen
Fall
beschränken
wir
uns.
Man
hat zunächst nach
(67)
=
-jrZßAadxß.
Û
Dabei ist
Puaß
der Wert dieser Größe auf
dem variabeln Punkte
G
der
Integrationsbahn.
Setzt
man E2 = (xu)G
-
(xu)p
und bezeichnet
man
den
Wert
von
Puaß
in P mit
Puaß,
so
hat
man
genügend genau
= i~-
Fig. 4.
Ferner bedeutet
Aa
den Wert,
welcher
aus
Ä'
durch
Parallelverschiebung
längs
der Kurve
von
P
bis
G
wird. Es ist
nun aus
(67)
leicht
zu
be-
weisen,
daß
Au
-
Au von
der ersten
Ordnung
unendlich klein
ist,
während der Wert
von
AAu
für
eine Kurve
von
unendlich kleinen
Abmessungen
erster
Ordnung
unendlich
klein
von
zweiter
Ordnung
ist.
Deshalb
begeht
man
einen Fehler
nur
von
zweiter
Ordnung,
wenn man
setzt
Aa
=
I5
--
27tZ^-
Setzt
man
diese
Werte für
Tuaß
und Aa
in
das
Integral
ein,
so
erhält
man
bei
Beschränkung
auf unendlich
Kleines
zweiter
Ordnung
4A»=
-
IX) Aa
|
fd?
(85)
Die
aus
dem Integral
herausgezogenen
Größen
beziehen sich
auf
den
Punkt P. Zieht
man vom
Integranden
1/2(EadEB)
ab,
so
erhält
man
T
ƒ(* *«'-***!"*
o
Dieser
antisymmetrische
Tensor zweiten
Ranges
faP
charakterisiert das
durch die Linie
gelegte
Flächenelement nach Größe und
Lage.
Wäre
die
Klammergröße
in
(85) antisymmetrisch
in
den
Indizes
a
und
ß, so
könnte
man aus
(85)
deren
Tensorcharakter
schließen. Man kann
dies
herbei-
fübren,
indem
man
die
Summationsindizes
a
und
ß
in
(85)
vertauscht
und die
so
entstehende
Gleichung
zu
.....(85)
addiert.
Man
erhält
2
JA*
=
-
JföußA'f11*..........(86)
wobei
riß
_
BIX
, &aap
---x-
T"
dxß
+
r\
rsß
-
r&
r§a
. .
(87)
[90]
[91]
[92]
Einstein,
Vier
Vorlesungen. 4