DOC. 71 PRINCETON LECTURES 549
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Aus
(86) folgt
nun
der
Tensorcharakter
von
RuaaB;
es
ist der
Riemannsche
Krümmungstensor
vom
vierten
Range,
auf dessen
Symmetrieeigenschaften
wir nicht
einzugehen
brauchen.
Sein
Ver-
schwinden ist
die
hinreichende
Bedingung
dafür,
daß das Kontinuum
(abgesehen
von
den
Realitätseigenschaften
der
zu
wählenden
Koordinaten)
ein
euklidisches
ist.
Durch
Verjüngung
des
Riemannschen
Tensors nach den Indizes
erhält
man
den
symmetrischen
Tensor
zweiten
Ranges
jl
-
oT»»
i

ríl
ftTpu
a ß
M/nv
-
T
ftp 1
va
^,
I
fiv *
i
. i
...(88)
Die
letzten
beiden
Glieder
verschwinden,
wenn
das
Koordinatensystem
so
gewählt
wird,
daß
g
=
konst.
Aus
Ruv
kann
man
den Skalar
B
=
g»*
RßV
.
. -
..........(89)
bilden.
Geradeste
(geodätische)
Linie.
Man
kann
eine
Linie
kon-
struieren,
deren
aufeinanderfolgende
Elemente durch
Parallelverschiebung
auseinander
hervorgehen
(geradeste
Linie).
Es ist
dies die
natürliche
Verallgemeinerung
der Geraden der euklidischen
Geometrie.
Für
eine
solche
Linie
gilt
d^Xft=-Rubdxa/dsdsB.
Die
linke Seite
ist
durch
d2Xu/ds2
ds
zu
ersetzen1),
so
daß
man
hat
d^Xß
.
f-tft
dXa
dXp
_
Ue~d^
IT- 0
..........(90)
Dieselbe
Linie
erhält
man,
wenn man
diejenige
Linie
bildet,
welche
das
Integral
.
.
--
Ids
oder
\ygßv dXßdxv
zwischen zwei
Punkten
zu
einem
Extremum
macht
(geodätische
Linie).
1)
Der
Richtungsvektor
in dem
benachbarten
Kurvenpunkte
entsteht
durch
Parallelverschiebung
um
das Linienelement
(dxp)
aus
dem
Richtungs-
vektor
jedes
betrachteten Punktes.
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