DOC. 9 ENERGY CONSERVATION 73
Einstein:
Der
Energiesatz
in
der
allgemeinen
Relativitâtstheorie
457
Die
Bedingungen
(9)
sind
für
alle
Komponenten
außer für
die
Komponente
U12
erfüllt; diese Ausnahme
liegt
darin, daß
(tI1)2
für
g1
=
0
und
g3,
=
r
nicht
verschwindet.
Trotzdem verschwindet, wie
man
sieht, das
Integral
j
d~-,,
weil
cos2
g1,
sin
g1
für
g1,
=
0
und
g1,
= r
denselben
Wert hat.
In
dem
von uns
betrachteten
speziellen
Falle verschwindet also
in
der
Tat
die
Integrale
/7ciu*
dut
óuí\
,IXW
+ 7ï+7ïr-‘l*-‘u'.,.
wie wir
es
im
vorigen Paragraphen
vorausgesetzt
haben. Daß dies
bei
jeder
geschlossenen
Welt
vom
Zusammenhangstypus der
sphäri-
schen bei
Verwendung
von
Polarkoordinaten
der
hier benutzten Art
der
Fall
sei,
ist
wohl
wahrscheinlich, bedürfte
aber
noch eines be-
sonderen
Beweises.
Die
Gesamtenergie J4
der
von uns
betrachteten
statischen
Welt
ist
=J V-(J
-
~
cos"
3,
sin
3,
j
d&,
d3,r/3,.
Dabei ist
V--
g
=
R3 sin3 3,
sin
3,
X
und1
-
=
.
¡t 2
Rx.
Ist
V
=
2s2R3 das
Volumen
der
sphärischen
Welt,
so
ergibt
sich also
J4
=
CoV.
(21)
Die
Gravitation
liefert also
in
diesem Falle
zu
der
Gesamtenergie
keinen
Beitrag.
§
5.
Die schwere Masse
eines
abgeschlossenen
Systems.
Wir
wenden
uns
nun
noch
einmal
der
Betrachtung
des Falles
zu,
daß
ein
System
in einen
»galileischen
Raum«
eingebettet ist,
ver-
nachlässigen
also das
»A-Glied«
in den
Feldgleichungen
wieder. Wir
haben
in
§ 3
bewiesen,
daß das
Integral
Jz eines
in
einem Galilei-
schen
Raum frei schwebenden
Systems
sich wie ein
Vierervektor
trans-
formiert.
Dies bedeutet,
daß die
von uns
als
Energie gedeutete
Größe
auch die Rolle
der
trägen Masse
spielt,
in Übereinstimmung
mit
der
speziellen
Relativitätstheorie.
1 Vgl.
A.
Einstein,
Diese
Sitzungsber. 1917.
VI,
S.
142-152. Gleichung
(14).
[15]
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