DOCUMENT 645 NOVEMBER 1918 937
dK
P°
UJV|iV
dwP
,
t^pqdlog
Vg
_
"papt
dwP
^ PP
k
parT
JVTg
pv
dK
Hier ist
nun,
nach Vermeils
Rechnung,
der in
der
geschweiften
Klammer stehende
Ausdruck
nichts anderes als die
über
p genommene
Summe
der
kovarianten Ablei-
tungen:
Kliv, P0
p
=
Bauv.
5)
Nun hat
B®vpPv
wieder
den
gewünschten
Vektorcharakter,
womit der Beweis
zu
Ende
geführt
ist.-
Ich habe die
Bezeichnungen
A£v,
ß°v gewählt,
um
die
enge Beziehung
zu
den
Formeln
(8),
(9),
(10)
der
ersten
Hilbert’schen
Note[5]
hervortreten
zu
lassen.-
Hilbert’s
Angaben
stimmen mit den
meinigen,
sofern
man
sein
H
durch K
+
L
er-
setzt.[6]
Aber
er
macht diese
Angaben
in seiner
Note,
ehe
er
noch
H
in dieser Weise
spezifiziert.
Man wird starke Bedenken
hegen,
ob die
Angaben
in dieser
Allge-
meinheit
richtig
sind,-ob
Hilbert
sie nicht auch
ursprünglich
nur
für K
+
L sich
entwickelt hat und sie
nur
hinterher
bei der
Redaktion
an
die falsche Stelle
gesetzt
hat.
Natürlich bin ich
begierig zu
hören,
was
Sie
zu
diesen
Ausführungen
sagen.
Schön
ist mein
Beweisgang nicht,
weil die
Durchführung von 4)
zu
viel mechani-
sche
Rechnung verlangt.
Aber ein Schelm
gibt
mehr als
er
hat.
Ganz
ergebenst
Ihr
Klein.
ALS.
[14 414].
[1]Klein,
F.
1918a.
[2]In
Docs. 638
and
641,
Einstein
had questioned
the
vector
character
of the Hilbert
energy
vector
e°
.
Klein read
off e°
from the surface
term
in the variation
of
the action
integral ¡K ,fgd4w
under
the
diffeomorphism
vi’t1
-
w'P
=
wf
+
pV-
(where
K
is
an arbitrary
function
of
the metric
guv
and
its first and second order derivatives
g£v
and ghv)
.
He found that
e°
=
r\°
+
2K^px,
where
Kp°
dK
gv
_
_M_
"gv
+
_LJL
P Jgdw
P
dJgK
dggv
,
opa
y
pPv (Klein, F. 1918a, eqs. (10)
and
(11)).
In
these
equations,
KpV
is
a
tensor, which,
when
set
equal
to zero,
gives
the
Euler-Lagrange equations
for the
Lagrangian
JgK
;
and
pPv
is
a
tensor
equal
to
the Lie variation
S*gflv
with
the
opposite
sign
(see
Doc.
492, note 12,
for
a
definition).
The term 2K°px in
eq. (10)
is
a vector. Hence, to prove
that
ec
is
vector,
Klein
only
had to show that
T|a
is
a
vector.
[3]Hans
Anton Hermann Vermeil (1889-1959)
was
Klein’s Assistent at the
University
of
Göttin-
gen.
[4]See
Doc. 222
for
a
proof
of this result.
[5]Hilbert 1915.
[6]In
Hilbert
1915,
p.
402,
the
author
assumes
that the
Lagrangian or
"world function"
H
can
he
written
as
the
sum
of
K,
the Riemann curvature
scalar,
and
a
function
L,
the
Lagrangian
for
matter,
which is assumed
to
depend on
the
electromagnetic
four-vector
potential,
its first
order
derivatives,
and the
metric,
but not
on
derivatives
of
the metric.