DOCUMENT 465 FEBRUARY 1918
653
Stellen,
wo
die Materie in
der
Welt nicht
gerade
die
vorgeschriebene
Dichte
hat,
muss
sie auch
ganz
abgesehen
von
den
Wirkungen
der
Kräfte,
wie mir scheinen
will,
allein
zufolge
des nicht
passenden
Gravitationspotentials
in
einer
fortwährenden inneren
Umwandlung begriffen sein,
die
darauf
hin-
strebt die
Verteilung
der Materie
richtig
zu
stellen. Es ist
das
etwas ganz
anderes
als die
Diffusion
infolge
der
unregelmäßigen Bewegungen,
durch welche
die
gleichmäßige Verteilung
der
Moleküle
eines Gases im Raum
hervorgerufen
wird. Ich
muss gestehen,
dass ich nach diesen
Überlegungen
zunächst
ganz
das Zutrauen
zu
der
Möglichkeit
der
neuen
Theorie verloren
habe
und stark zweifle,
ob
man
überhaupt
eine
befriedigende
Theorie
gewinnen kann,
in der das Parallelen-Axiom
nicht
gilt."
For
Mie,
the
principle
of the
relativity
of
motion
only
refers
to
uniform motion.
For
a
discussion
of
Mie’s
principle
of
the
relativity
of
the
gravitational potential,
see
Doc.
346, note
3. For
an
earlier state-
ment
by
Mie in which
the
theory
of
Einstein
1917b
(Vol.
6,
Doc.
43)
is characterized
as a
theory
in
which the
parallel postulate
is
given up, see
Doc. 456.
In
the draft
postscript,
Mie outlined
a
calculation in
support
of
the claim in the
passage quoted
above that Einstein’s
cosmological
model is such that its
uniform
mass
distribution
will be
restored
whenever there
are
deviations from that distribution. The
postscript states:
"Um Ihnen die
Möglich-
keit
zu geben, zu prüfen,
ob meine
zuletzt
geäußerte Vermutung
vielleicht
nur
auf
Trugschlüssen
beruhe,
will ich Ihnen kurz
beschreiben,
wie ich
zu
ihr
gekommen
bin:
Es sei:
K
•
p
=
2
•
a
•
y,
wo a
=
1,
natürl,
positiv,
reell.
Ich setze
nun
a
=
1-a/1+a,
dann
ergiebt
sich als
Integral
der
Feldgleichungen:
Guv
=
-K
•
(Tuv-1/2guv.T)
in der
Umgebung
des Punktes
x1 = x2 = x3 =
x4
=
0
folgendes:
•?liv
d'lv
+
Rr-
V*v
(x'f
+
+ xj
-
a
•
x|)
u,v
=
1,2,3.
£p4
#44
' *p*4
R2-(x\
+
.
-
Ctx|)
1,
2, 3
.
1-
2V2 a¿x
R2
-
O? + x? +
x?
a**)
wo
R2
(1 +
a)
•
(2-a)
21
g44
ändert sich also im Punkte
x1
= x2 = x3 =
0 mit
der
Zeit und
zwar
nimmt
es
immer
ab,
ob
a
1
oder
a
1
ist."
The metric field
given by
Mie is
analogous
to Willem de Sitter’s solution
of
the field
equations
with
cosmological
term
(see,
for
instance,
Doc.
313).
Consider
the 4-dimensional
hypersurface
x21
+
x22
+
x23 -
ax24
+
x25
=
R2 in
a
4+1-dimensional Minkowski
space-time.
The metric
on
this
hy-
persurface
is ds2
=
-dx21
-
dx22
-
dx23
+
dx24
-
dx25
.
Using
the
equation
for the
hypersurface to
elim-
inate
x5,
one can
rewrite this
as
ds2
= gijdxidxj
(i,j
=
1,2,3,4),
where the
components
gij
of
the
metric tensor
are
the
ones
given by
Mie,
except
for the fact
that
gu4
should have
a
plus
rather
than
a
minus
sign. Inserting
this metric field into the field
equations (the
term
-yguv
is
missing on
the
left–
hand
side) along
with
Tuv
=
diag(0,0,0,p), and
imposing
the condition
Kp
=
2ay,
one
finds
that this metric field is
a
solution
of
the
equations
if
two
additional relations between
R,
a (or a)
and
y
hold. The calculation is
fully analogous
to
the calculation outlined in
sec.
5
of
Einstein 1917b
(Vol.
6,
Doc.
43).
The
11-component
of
the field
equations gives
the relation stated
by
Mie.
If
the
sign
error
in
gu4
is
corrected,
this relation becomes: R2
=
(1+a)(2+a)/2y.
The
44-component
gives:
aR2
=
3a-1
+
a/2A.
These
relations
are compatible
only
if
either
a
=
0
(a
=
1)
or a
= 1
(a
=
0).
In
the
former
case,
Mie’s
solution
reduces
to
the
one describing
Einstein’s
cosmological model;
in the
latter
case,
it reduces to
De
Sitter’s solution.
So,
the
only
values for
the
density
p
allowed
by
Mie’s
solution
are
Einstein’s
value
2y/K
and
0,
whereas
Mie’s
calculation
purports
to show that
there
are
solutions
for
densities
p
=
2ay/K
with
arbitrary positive
values
of
a
which evolve into the
one
with
a
=
1.