DOCUMENT 463 FEBRUARY 1918 645
keiten machen. In
der
allgemeinen
Relativitätstheorie ist
aber,
da sie die Welt mit
Differentialgleichungen,
also
funktionentheoretisch
auffaßt,
das Unendliche
(x1
=
oo,
x2
=
oo,
x3
=
oo,
x4
= oo)
nicht
etwa
ein Grenzfall einer
großen
Ku-
gel,
sondern ein
Punkt,
genau
wie
jeder
andere
Punkt,
und kann in
jeden
anderen
Punkt transformiert
werden.-Ich
habe
mir
daraufhin
überlegt,
welcherlei Grenz-
bedingungen
denn
überhaupt
geeignet
sind,
eine
Lösung
des
Systems
der
Feldglei-
chungen eindeutig
zu
definieren. Ich habe
zu
diesem Zwecke versucht
[:für
den
Fall
geodätischer
Koordinaten[6]
(gi[4] =
0;
g44
=
1),
der keine
Beschränkung
der
Allgemeinheit
ist,
in
Verbindung
mit
der
gleichfalls gestatteten
Annahme,
daß das
Koordinatensystem
in
der
Umgebung
des
zu
betrachtenden Punktes
xi
=
xi0
(i
=
1,
2, 3, 4)
"quasi-orthogonal"
ist
(:d.
h.: die
gii
unterscheiden sich
von
1
nur
um
unendlich kleine Größen
2.
Ordnung,
die anderen
gik
sind selbst
2.
Ordnung:):],[7]
das
System
der
Feldgleichungen
auf
die Tresse’sche Normalform
eines
"passiven Systems" zu bringen. (:Encyclop.
d.
math Wiss II A
5,
Nr.
2),[8]
und dabei
gefunden,
daß
man,
um
eine
Lösung zu
individualisieren,
im
Anfangs-
punkte folgendes
willkürlich vorschreiben kann:
a.)
Sämtliche
Ableitungen von
g12,
g13,
g23
mit Ausnahme
je
einer
der
folgenden
vier vierten
Ableitungen:
d4/1144, d4/2244,
d4/3344,
d4/4444
und deren sämtlicher
Derivierten,
dazu
b.)
die Ableitun-
gen von
g33
mit Ausnahme
von
sechs
bestimmten
(2.-4.
Ordnung)
und
deren Ab-
leitungen,
dazu
c.)
die
von
g22
mit Ausnahme
von
5
bestimmten
(2. u.
3.
Ordnung)
nebst deren
Abl.,
und
endlich
d)
die
von
g11
mit
Ausnahme derer
2.
Ordnung
nach
22,
33,
44,
23,
24,
34
und deren
Ableitungen.
Hieraus kann
man
auch
auf
die
in der
allgemeinen Lösung
auftretenden
willkürlichen Funktionen schließen (:Die hier
benutzte
Rangordnung:
g12, g13, g23,
g33,
g22,
g11
ist natürlich willkürlich
gewählt:).
Gewiß eine sehr
komplizierte Randwertaufgabe.
Damit ist aber die Sache noch
lange
nicht
erledigt.
Das
System
Ihrer Feld-
gleichungen birgt
noch viele
Überraschungen
in sich. Ich möchte
nur
auf
eins
hinweisen. Es lassen sich
aus
Ihren
allgemeinen Gleichungen
durch
geschickte
Elimination 20
Gleichungen
4.
Ordnung
ableiten,
die
(außer Ableitungen
niederer
Ordnung
von
allen
guv)
Ableitungen
4.
Ordnung
nur von
je
4
(bezw.
3)
der Unbe-
kannten
(guv)
enthalten,
und
zwar nur
je
eine zweite
Ableitung
des
ersten
Diffe-
rentialparameters.
In
den oben erwähnten
geodätischen, quasiorthogonalen
Koordinaten
bleiben
hauptsächlich
6
von
diesen
Gleichungen
interessant,
bei
denen die
Glieder höchster
Ordnung
lauten:
d2fd2gik
44l
11
d28jk
d28ik
ik
22
33
44