DOCUMENT 495 MARCH 1918 703
Gibt
es
mehrere
Darstellungen
in
kartesischen
Koordinaten,
so
ist
nur dasjenige
Koordinatensystem zulässig,
für
welches
g
=
-c2.
Als
Beispiel
zu
letzterem erwähne ich das
homogene
Feld
(Beschleunigung
y)
s.
§37
meiner
Arbeit:[5]
a)
nach der Aequivalenzhypothese:[6]
-ds2
=
dx2
+
dy2
+
dz2
-
c2^l
+
^
j
dt2
b) nach der Gravitationstheorie:[7]
-ds2
=
dx2
+ dy2 +
-
dz2
1
+
2yzi
1
+
2yzj
Beide
Darstellungen
gehen
ineinander über durch die Transformation
i+b
=
cL
1
+
2yZl
Beides sind kartesische
Koordinatensysteme;
aber
nur
eines kann den
bestmöglich-
sten Anschluß
an
die
Erfahrung geben.
Und
dies ist dann das
berechtigte.
Es
zeigt
sich,
daß das der Fall ist
für
b)
und daß hier
g
=
-c2
erfüllt
ist;
die
Aequivalenz-
hypothese
liefert
hingegen
eine
unberechtigte
Maßbestimmung.
Andere
Koordinatensysteme
als die
kartesischen
besitzen keine
neue
physikali-
sche
Bedeutung.
Es ist
vielmehr
niemals
außerachtzulassen,
daß diese
nur
mathe-
matische
Operationen
ohne
geometrischen
Inhalt
darstellen. Ebenso verändert eine
Fläche ihre Gestalt
nicht,
wenn
ich sie in andern Koordinaten
darstelle,
den Fall der
Verbiegbarkeit ausgenommen.
Dieser
Fall ist
es
eben,
der im
obigen Beispiel
des
homogenen
Feldes auftreten
würde,
wenn
nicht eines der
Systeme ausgeschlossen
worden wäre. Hierdurch ist die
Eindeutigkeit
der
Gestaltbestimmung unserer
krummen
vierdimensionalen
Mannigfaltigkeit festgelegt.
Und die
geometrische
Gestalt ist hier identisch mit der
physikalischen
Natur.
Meine
Bedingung
für
diese nichtkartesischen
Koordinatensysteme
erfährt
nun
die
sinngemäße Abänderung
g
=
(g)k
=
0
z.
B.
für Polarkoordinaten
r,
0,
(p
g
=
-c2
.
r4sin2i3
etc.
darum ist sie
keineswegs
mit der
von
Ihnen hie und da verwendeten
Beschränkung
g
=
-1
zu
verwechseln. Ich habe
zur
Verhütung
solcher Mißverständnisse in ei-
ner eigenen Anmerkung
davor
gewarnt.