2 5 6 D O C U M E N T 2 1 3 A U G U S T 1 9 2 1
,
( die zweite Erweiterung von ,
die erste). , Die 20 Grössen drücken sich durch durch die 10
Grössen aus. Daraus folgt 10 Gl. für die Nämlich
also ist
Die-
se Gl. sind die gesuchte 10 Gl. Ihre Anzahl ist nur scheinbar 20, da die
Verjüngung[5]
identisch Null sind. so ist die wahre Anzahl gleich 20 – 10 = 10. Er-
setzt man in dieser Gl. die ,C durch so wird die linke
Seite ein Wely-Tensor,[6] weil die C-- herausfallen. Dieser ist der von Weyl-ange-
gebene, , und er ist der Einzige da diese 10 Gl. die einzigen sind , für die
sind, weil die 10 Grössen von einander unabhängig sind. Das Ver-
schwinden von ist nicht nur notwendig sondern auch hinreichend (entgegen
einer provisorischen Angabe von H. Weyl) dafür, dass die Mannigfaltigkeit sich
konform auf einer Euklidischen abbilden lässt. Denn lässt sich schreiben.
Nun kann man so bestimmen, dass , sogar wenn beliebig
ist. Dann wird also entspricht
einer Euklidischen Mannigfaltigkeit.
Wie wir schon wissen lässt sich aus und keine Invariante bilden,
die man konstant setzen kann. Soll ich nun untersuchen Weyl-Invariante höherer
Ordnung? Wenn ich recht verstanden habe, ist doch die Gl. 1) wobei I
eine Weyl-Invariante ist, und ist, eine solche welche eine ganz an-
Riklm gik Riklm gilTkm gkmTil gimTkl – gklTim Riklm Ciklm +=– + + =
Tkm
1
2
-- -
km
3
4
------
k m
–
1
8
------ gkm . + =
km i
Tkm Tmk = Ciklm
Tkm Ciklm. gilCiklm Ckm =
2= Tkm gkmT .+ C Ckmgkm 6T, 2Tkm Ckm
g
6
.–Ckm--------
= = =
2Ciklm gilCkm – gkmCil – gimCkl gklCim
1
3
-- - gilgkm gimgkl – C + + + 0. =
Ciklm, Ckm Riklm, Rkm, R,
Hiklm
Ciklm Tkm
Hiklm
Hiklm
Hiklm Riklm gilLkm gkmLil gimLkl – gklLim – + + =
Lkm
Rkm
2
-------- -–
gkmR
12
------------
,
+= Lkm Lmk =
Tkm
Tkm
-------- - Lkm = Lkm
Miklm Riklm
Ciklm
------------ +
Riklm gik-
--------------------------- 0, = = = gik
Hiklm
iklm
g
I const, =
I gik
1
-- - I .=