334 DOCUMENT 255
SEPTEMBER 1916
255.
To
Constantin Carathéodory
[Berlin,]
6. IX.
16.
Lieber Herr
Kollege![1]
Sie haben mir in Aussicht
gestellt,
mir
eine
anschauliche
Ableitung
der
Hamil-
ton-Jakobischen
Beziehung
schreiben
zu
wollen. Nun habe ich
es
selbst
fertig ge-
bracht,
und
zeige
Ihnen meine
simple Überlegung, nur um
Ihnen
die Mühe
zu er-
sparen.
Für
die
Lagrange’sch
Funktion
L
gilt
6{jL7t} =
0
...(1)
oder
3
L
d(dL\
.
3
qv
...(1a)
Wir setzen
nun
t
=
J(qv, ßv,
U
T)
...(2)
Hiebei sind die
Qv
die
Anfangskoordinaten
zu
einer
bestimmten
Anfangszeit T.
Nun betrachte ich eine durch
virtuelle
Verschiebung
der
Bahn
zu
gewinnende
Nachbarbahn
(zwischen
denselben Zeiten t und
T).
Durch Varieren
von
(2)
erhält
man
mit
Rücksicht auf
(1a)
Qv
'd«7v
V ...(3)
Hieraus erhält
man
beide Jakobische
Gleichungssysteme.
Denn
es
ist erstens
3
L
3
7
3
7V
Pv
...(3a)
Zweitens ist
dJ
dL
dßv
3ßv
'
Für
ein und dieselbe Bahn ist aber
dL/dQv
=
Pv
als
Anfangsbedingung
gegeben,
also
konstant,
sodass auch
die
dJ
dQv
auf
einer
Bahn
konstant sind.
Führt
man
statt der
Qv
beliebige
Funktionen
av
dieser
Grössen
ein,
so
hat
man
natürlich
auch
dj
dav
= ßv =
konst.
(3b)
Durch Differenzieren
von (2)
nach der
Zeit
erhält
man
dJ 37
^37
.