DOCUMENT 62 MARCH 1915 99
(Um
die Existenz eines
Limes
zu
erzielen
brauchte
man nur zu setzen)
Ich
will
auf
die
Frage
der Existenz
oder
Nicht-Existenz dieses Limes
gar
nicht
eintreten,
da die-
se
Frage
nach meiner
Ansicht
gar
nicht
von Bedeutung
ist;
sondern ich will
zu
be-
weisen
suchen,
dass der
aus Gleichung (71)
der Arbeit
gezogene
Schluss
richtig
ist.[3]
An diesen Beweis
können
wir dann
unsere späteren
Betrachtungen anknüp-
fen.
Voraussetzung:
dI
=
fEdTEFuvdguv
...(1)
ist eine
Invariante,
falls die
dguv an
den Grenzen
von
2
verschwinden,
im
Übrigen
aber
frei wählbar sind.
Behauptung:
Cuv/v/-g
ist ein kovarianter Tensor.
*1-g
Beweis:
Es ist
dx'dx'
...(2),
also _
dx'dx'
s*
p”
la-V»*1”
...(2a)
Ich
multipliziere
(2a)
mit J-g'dT'
=
-J-gdT
und
integriere
über
E.
Dann erhalte
ich
fv/-g'dg'padr'
=
fv/-gdrEdx'p/dxudx'a/dxvdguv
...(3)
Da das
Integrationsgebiet
E unendlich klein sein
soll,
kann ich die Faktoren
dx'pdx'a
dx^
dxv
durch
diejenigen (konstanten)
Werte
ersetzen,
den diese Faktoren für ir-
gend
eine Stelle des
Integrationsraumes
erhalten.
Dadurch
vernachlässige
ich
auf
der
rechten
Seite
von
(3)
nur
relativ
unendlich Kleines. Es
ist
also, wenn
ich
zur
Abkürzung
Auv
=
...(4)
setze:
A'pa
=
£
dx'pdx'c
A^v
...(3a)
Damit
ist zunächst
bewiesen,
dass
Auv
ein kontravarianter Tensor
ist,
und
zwar
ein
solcher
mit
voneinander
unabhängig
wählbaren
Komponenten.-[4]