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DOCUMENT 285 DECEMBER 1916
Die Funktionen
(4)
sind
Lösungen
der
kanonischen
Differentialgleichungen,
je-
desmal,
wo
eine
Gleichung
(8)
^ykdxk
=
dQ
+
^Ajdaj
+
Hdt
j
gilt,
in
der dQ
ein
totales
Differential
und
die
Aj
von
t unabhängig
sind.
Aus diesem Satz
folgt
alles
übrige
sofort:
I Kanonische
Transformationen.
Es seien die
neuen
Veränderlichen
(9)
ÍS*
=
Ik^v^yv-yn’t)
U*
=
Mxvxn’yi
yn’t)
derart,
dass eine
Funktion
'Fixj..
,xn,
yx..
.yn,
t) existiert,
für
welche
(10)
XCTIÄ-V**)
=
d'¥
+
p(x1...xn,y1...yn,t)dt
k
identisch erfüllt ist. Dann hat
man
nach
(8), wenn man
für
xk, yk
die
allgemeine
Lösung
von (3)
einsetzt
(11)
=
d(Q.
+
II)
+
EjAj
daj
+
£Ajdaj
+ (H +
p)dt
und
daher,
wenn man
Çk,
r\k
als
unabhängige
Veränderliche
einführt
und
H(Zk’
n*.
0
=
Hixk,
yk,
t)
+
P(xk,
yk,
t)
setzt,
transformieren sich die
Gleichungen
(3)
in
(11a)
¿
dH
^k
II Kann
man
die
yk
aus
den
n
ersten
Gleichungen
(9)
eliminieren und
folglich
xk, t,k
als
unabhängige
Veränderliche
wählen und
schreibt
man
(12)
*¥(xk, yk,
t)
=
-0(%k,
xk,
t),
so
folgt
aus (10)
(13)
34
_
"
35,"
dxb
=
+yk
dO
dt
=
P
Ist
umgekehrt
0(xk,%k,t)
eine
beliebige
Funktion
und kann
man aus
den ersten
Gleichungen
(13)
die
xk
aus
den
mittleren
Gleichungen
(13)
die
Ek eliminieren,
so
liefern die
Gleichungen (13)
eine
kanonische
Transformation
für
welche
(14)
H
=
~
+
H
dt
ist.
III Jacobische
Integrationsmethode[4]
Ist
4
eine
Lösung
der
Jacobischen
partiellen
Differentialgleichung, so
ist nach
(14)
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