D O C U M E N T 4 1 8 C A L C U L A T I O N S I N D I A R Y 6 7 3 [p. 50v][9] Die eckige geschweifte Klammer verschwindet im Kryst [12] Riemannschen Falle identisch, weil nur erste Ableitungen der g enthaltend und Tensor. Dies lie- fert explizite die Formel[13] σ ∂Γμν ∂xτ ----------- -– Γαν σ Γμτ α σ ∂Γμτ ∂xν ----------- Γατ σ Γμν α – + + Rσ μ ντ , δ ϕiκϕlmδiκlmdτ Invariante 0 = ϕiκδiκlm----------ldτ ∂δϕ ∂xm - 0= ∂ϕiκδiκlm ∂xm ---------------------- - 0. = Riκ κ ∂Γiα ∂xα ---------- -– Γiα β Γκα β α ∂Γiα ∂xκ ---------- - Γiα κ Γαββ – + + = giκRiκ –gdτ I .= ℑ ist explizite von den giκ und Γiα κ abhängig. ℑ ist auch Invariante, wenn giκ und Γiα κ als voneinander unabhängig definierte Grössen behandelt werden. δI ∂R ∂giκ ---------δgiκ - ∂R κ ∂Γiα ----------δΓiα - κ ∂R κ β ∂Γiα -------------- - ∂ ∂xβ -------δΓiα - κ + + dτ = ∂R ∂giκ ---------δgiκ - ∂R κ ∂Γiα ---------- - ∂ ∂xβ ------- - ∂R κ β , ∂Γiα --------------- – δΓiα κ + dτ = δ1R Riκ –gδgiκ 1 2 --Rgiκ - –gδgiκ – = –g Riκ 1 2 --gikR - – δgik = δ2R giκ –gδRiκ = δRiκ δiσδκτδμαδβνδΓστ ν , μ δαβ –= δiσδκτδμαδβνδΓσν τ , μ + +--------------------- –g ∂gστ ∂xμ –g ∂gσν ∂xν --------------------- -δμτ – + –g(giσΓiτ μ gστΓκμ τ giκΓiσ κ δμ τ –+ β –gστΓμβ ) 0 1 2 --giκgσα - ∂giα ∂xκ ---------- ∂gκα ∂xi ----------- ∂gi ∂xα --------- -–+κ 1∂gσκ 2 ------------- - ∂xκ – 1∂gσi 2 ----------- - ∂xi - – gσα----------------- –g ∂lg ∂xα - – ∂gστ ∂xμ ---------- - giσΓiτμ gσκΓκμ τ + + 0 = +giτΓiσ μ 0= ∂Riκ ν , μ ∂Γστ - δiσδκτδμν – δiσδκ νδμτ + = ∂Riκ μ ∂Γσν ----------- - Γiα β δκμδανδσβ Γκα β δiμδβ νδσα + = Γiα κ δα μ δβνδσβ – Γαβ β δiμδκνδσα – αμ β βμ α + ∂gαβ ∂xμ ----------- – Γβ αμ , Γα βμ , + + 0 = –g ∂giκ ∂xν ----------------------------------- -– giκ –g [11] [10] Γiσδκμ τ ν σ Γκσδκμ μ τ ν σ Γiκδσ σ μ μ ν – Γβ σβ μ δiμδκν σ τ – += + 0 [eq. 2] [eq. 5] [eq. 6]