68 DOCUMENT 12 ON KALUZA'S THEORY 3 BEWEIS DER NICHTEXISTENZ USW. VII ds2 = g^v dx^ dxv eine mit Hilfe eines lokalen Inertialsystems mittels Maßstäben und Uhren direkt meßbare Größe, während das ds2 der fünfdimensionalen Mannigfaltigkeit in der kaluza'schen Erweiterung zunächst als reines Abstraktum dasteht, dem eine unmittelbare metrische Bedeutung nicht zuzukommen scheint. Die Forderung der allgemeinen Kovarianz aller Gleichungen im fünfdimensionalen Kontinuum [7] erscheint daher vom physikalischen Standpunkt aus vollkommen unbegründet. Es bedeutet ferner eine bedenkliche Asymmetrie, daß die Forderung der Zylinder- eigenschaft eine Dimension gegenüber den anderen auszeichnet, und daß doch in bezug auf den Bau der Gleichungen alle fünf Dimensionen gleichwertig sein sollen. Stellt man sich die Frage, ob die guv allein zur Beschreibung des Gesamtfeldes ausreichen, so kann man bei einer Koordinatenwahl, welche der Determinante guv | = g den Wert 1 erteilt, die HAMILTON'sche Funktion H setzen H=""r* rj.- (2) Dabei nehmen die Feldgleichungen in erster Näherung, d. h. falls die Abweichungen [8] der guv von Konstanten gering sind, die Form an r *ą11 = 0. (3) 9x0 Herr Kaluza hat bereits gesehen, daß man auf diese Weise die Gesetze der Gra- vitation und die maxwell'schen Vakuum-Feldgleichungen in erster Näherung richtig erhält. Bei dieser Sachlage ist es von Interesse, zu wissen, ob die der HAMILTON'schen Funktion (2) entsprechenden strengen Gleichungen (in drei Dimensionen) zentral- symmetrische statische Lösungen haben, welche überall singularitätenfrei1) und [9] geeignet sind, die elektrischen Elementarladungen darzustellen. Eine zentralsymmetrische Lösung entspricht folgendem Ansatz: 1. Für die drei räumlichen Indizes soll sein: gaß = 1 Baß + xa (Baß = 1 bzw. 0, je nachdem a= ß oder a =1= ß) 1) D. h. nirgend dürfen die guv unendlich werden oder ihre Determinante verschwinden.
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