D O C U M E N T 4 1 7 O N G E N E R A L R E L A T I V I T Y 6 6 5 Zur Wahl der Hamiltonschen Funktion I sei folgendes bemerkt. Verjüngt man den Riemannschen Krümmungstensor nach den Indizes i und m, so erhält man den Tensor , (6) welcher in der allgemeinen Relativitätstheorie zusammen mit der Riemann-Chri- stoffelschen Beschränkung (3) bezw. (4) die Theorie des reinen Gravitationsfeldes geliefert hat. Lässt man die Riemannschen Beziehungen zwischen den Γ und g fal- len, so besitzt der Riemannsche Tensor noch eine zweite, im Allgemeinen nicht verschwindende Verjüngung (nach den Indizes i, κ):[15] . (7) Diesen Tensor wollen wir als den Ausdruck des elektromagnetischen Feldes auf- fassen, wie es schon Eddington gethan hat.[16] Wir wollen die naheliegende Annah- me einführen, dass die gesuchte Hamiltonsche Funktion die Grössen Γ nur in den Kombinationen (6) und (7) enthalte. §4. Gesetz des reinen Gravitationsfeldes. Im Falle des reinen Gravitationsfeldes wird die Hamiltonsche Funktion nur von (6) abhängen. Man kommt zum Ziel, indem man die einfachste, nämlich die lineare Abhängigkeit annimmt: . (8) Die Gleichungen (5a) nehmen dann die Form an (9) (10) Die Form (10), welche ja Tensor-Charakter besitzen muss, lässt sich—wie bereits bei anderem Anlass ein italienischer Mathematiker gefunden hat—in die Form bringen[17] Riκ, lm i ∂Γκl ∂xm ---------- -– Γαl i Γκm α i ∂Γκm ∂xl ------------ - Γαm i Γκlα – + + = Rκl α ∂Γκl ∂xα ---------- -– Γκβ α Γlβ α α ∂Γκα ∂xl ------------ Γκl α Γαβ β – + + = ϕμν α ∂Γμα ∂xν ------------ ∂Γναα ∂xμ ----------- -–= [p. 7] I1 gκlRκl g –= 1 –g --------- -I1μν Rμν 1 2 --gμνR - – 0 = = 1 –g --------- -I1 αβ μ 1 –g --------- - ∂gαβ –g ∂xμ ---------------------- 1∂gασ 2 ------------------------δμ - –g ∂xσ β – 1∂gβσ 2 ----------------------- - –g ∂xσ -δμα – = 1 2 --gασΓμσ - β 1 2 --gβσΓμσ - α 1 2 --gστΓστ - α δμ β – 1 2 --gστΓστ - β δμ α – gαβΓμσ σ – + + 0 =