D O C U M E N T 4 1 8 C A L C U L A T I O N S I N D I A R Y 6 8 1 [p. 46v] 1 2 --RαβRμνRμν - σ – 1 2 --Rατδσ - β RμνRμν τ – 0 Rαβ σ Rατ( Γστ β Γτσ β – ) += R τ ατ δσ β – Rατδσ β ∂lg D ∂xτ ---------------- Γντ ν – – Rαβ ∂lg D ∂xσ ---------------- - Γστ τ – + 1 2 --RμνRμν - τ – Γντ ν Γτν ν – ( ) + Bμ Aμ δAμ Γαβ μ Aαdxβ –= δBμ Γ'μβ α Bαdxβ += = Γμ αβ – Γ'αβ)AαBμdxβμ + ( • 1 2 --RμνRμν - σ – Γνσ ν Γσν ν – ( ) + 0 Rαβ σ = τ δσ β –Rατ Rατ( Γστ β Γτσ β – ) RατSσ β Γντ ν Γτν ν – ( ) Rαβ( Γνσ ν Γσν ν – ) + + + 1 2 --Rβα - σ + 0 1 2 --Rαβ - σ 1 2 --Rατ - τ δσ β – 1 2 --Rβτ - τ δσ α – 1 2 --RαβRμν - μ Rμν σ – 1 4 --Rατδσ - β Eτ – 1 4 --Rβτδσ - αEτ – = Dα Dβ Eσ 1 ) symmetrisches R Rαβ: 0 Eσ 1 2 --Dσ - – 1 2 --Dσ - – 2Eσ – 1 4 --Eσ - – 1 4 --Eσ - – 3 2 --Eσ - σ Dσ[40] + + = = 3E 2D + 0 = 2E D + 0 = E D 0 Rαβ σ 0 = = = 2 ) Voraussetzung der Symmetrie aufgehoben RαβRα'β δα'α = hebenso mit erstem Ind. Rαβ αβ Sαβ Aαβ += Rβα Sαβ Aαβ – Rαβ 2Aαβ – = = Rαβ Rα'βRαβ' ⋅ Rα'β' = Sαβ s 1 2 --Sατ - τ δσ β – 1 2 --Sβτ - τ δσα – 0 Sαβ σ 1 2 --Dαδσ - β – 1 2 --Dβδσ - α – 1 2 --SαβEσ - – 1 4 --Sατδσ - β Eτ – 1 4 --Sβτδσ - αEτ – = 1 2 --AαβEσ - – 1 4 --Aατδσ - β Eτ – 1 4 --Aβτδσ - αEτ – Sαβ 0 1 2 -- - Es 1 2 --RαβSαβ - –= δβ σ: 0 Dα 2Dα – 1 2 --Dα - – 1 2 --Eα - – 2Eα – 1 2 --Eσ - – 3Eσ 3 2 --D2 - + = = [39] [42] [41]