6 8 2 D O C U M E N T 4 1 8 C A L C U L A T I O N S I N D I A R Y [p. 46] H( gμν ϕμν) δ Hdτ 0= ∂H ∂gμν -----------δgμν ∂H ∂ϕμν ----------- -δϕμν + gμνδgμν fμνδϕμν[44] + = gμν ∂Γμν α ∂xα ------------ – ∂Γμα α ∂xν ------------ - Γμβ α Γνα β Γμν α Γαββ – + + = ϕμν 1 2 -- - ∂Γμα α ∂xν ------------ - ∂Γνα α ∂xμ ------------ .– = 1 2 -- - ∂Γμα α ∂xν ------------ - ∂Γα ∂x ------------να -+ 1 2 -- - ∂Γμα α ∂xν ------------ - ∂Γα ∂xμ ------------να -– Ausführung der Variation: 0 ∂gμν ∂xα -------------δΓμν α ∂gμν β ∂xν β -------------δΓμα ν α – gμνΓναδΓμβ β β ν β ν α gμνΓμβ β βα μ α δΓνα μ α β gμνΓαβδΓμν β α – gμνΓμνδΓαββα στ στ μ μν α – + + = δα ν β δαν ∂fμν –2---------δΓμαα-xνν∂ 0 ∂gμν ∂xα ---------- - ∂gμβ ∂xβ ---------- -δα ν – gμβΓβα ν gνβΓαβ μ gμνΓαβ β – gστΓστ μ δα ν – + + = δα β ν ∂fμβ ∂xβ -δαν –2--------- – – – – – 0 0 gμν α ∂gμν ∂xα ----------- gσνΓασ μ gμσΓασ ν + + g 1 g ------ ----------- ∂ g ∂xα – 1 2 -- - 1 2 --Γασ - σ 1 2 --Γασ - σ + + ggμν – gμν α ∂gμν ∂xα ------------- gσνΓασ μ gμσΓασ ν gμνΓασ σ – + + = gμα α ∂gμα ∂xα ------------- - gασΓασ μ gμσΓσα–gμσΓσααα + + = gμσ σ ∂gμα ∂xα ----------- 2gαβΓαβμ += δν α 0 gμν α 1 2 --gμβ - β δα ν – 1 2 --gνβ - β δα μ – 2--------- ∂fμβ ∂xβ -δα ν – ∂fνβ ∂xβ ---------δα - μ – = 0 Dμ 2Dμ – 1 2 --Dμ - – 5iμ – = 3 2 --Dμ - – 5iμ – 0 = dμ 3 10 -----iμ- –= 0 gμν α 3 20 -----iμδα - ν 3 20 -----iνδα - μ iμδα ν – iνδα μ – + + = 0 gμν α ciμδα ν – ciνδαμ – = [43] [45] [46] [48] [49] [51] [eq. 16] [eq. 17] [47] [eq. 18] [50]