708 DOCUMENT 425 ON GENERAL RELATIVITY 34 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 15. Februar 1923 charakter von r*"- geschlossen werden. Hieraus und aus dem Vorigen folgt dann, daß auch 3-B- - rBvI* d x Tensorcharakter besitzt. Die Symmetriebedingung (4) ist also nötig, wenn der eindeutige Charakter der kovarianten Erweiterung des Vektors gewahrt bleiben soll. In der EDDINGTONschen Theorie treten die 40 Größen T"v als unbekannte Funktionen der xv auf, wie in der ursprünglichen Relativitätstheorie die 14 Größen g!tv und f^ Das bei Eddington nicht gelöste Problem besteht nun darin, die zur Bestimmung dieser Größen notwendigen Gleichungen zu finden. Als bequemste Methode hierfür bietet sich das HAMILTONsche Prinzip dar. Sei Ģ eine nur von den T und ihren ersten Ableitungen abhängige skalare Dichte, so soll f&r jede am Rande des Integrationsgebietes verschwindende stetige Variation der r^, gelten S{J§2r} = 0. (8) Die Feldgleichungen, welche wegen des Tensorcharakters von Sr^v ebenfalls Tensorcharakter besitzen, lauten dann o = Ģ:r = a Ū 3w (9) wobei et ptv dr° X.T r fk v, r gesetzt ist. Dabei ist angenommen, daß § eine (algebraische) Funktion der Rkt sei. Unsere Hauptaufgabe liegt in der Wahl dieser Funktion. Es gibt solche Tensordichten, welche rationale Funktionen zweiten Grades aus den Rik,lm sind sie können mittels der Tensordichte ge- wonnen werden, deren Komponenten gleich 1 oder - 1 sind, je nachdem iklm eine gerade oder ungerade Permutation von 1, 2, 3, 4 ist. Eine solche Tensordichte ist z. B. Ri Rk btmvv. Ich halte es aber fur richtig, sich auf diejenigen Tensordichten zu beschränken, [10] welche aus dem verjungten Tensor Rkl gebildet sind bzw. aus Skl und (fkl, da wir nur diesen Größen physikalische Bedeutung zuzuschreiben geneigt sind. Dann müssen wir irrationale Funktionen zulassen, wie wir dies aus der bisherigen Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie bereits gewöhnt sind (z.B. V-g). Auch dann gibt es noch verschiedene Möglichkeiten, von denen mir die folgende als die interessanteste erscheint: 0 = 2 V- |Rkl|, (10) welche ein Analogon der Tensordichte des Volumens darstellt und aus Rkl ohne Zerspaltung in den symmetrischen und antisymmetrischen Teil gebildet ist. Erweist sich diese HAMILTONsche Funktion als brauch-