L E C T U R E S A T T H E U N I V E R S I T Y O F M A D R I D 8 6 7 actúa sobre los relojes, y, por tanto, no puede definirse el tiempo por medio de relojes iguales. Si pues no es válida la geometría euclídea, no puede usarse un sistema cartesiano de co- ordenadas, y nos encontramos con la dificultad de que en el disco y en cualquier campo gra- vitatorio no puede darse un sentido inmediato a las coordenadas de espacio y tiempo a primera vista parece imposible a la Física hacer la descripción de la Naturaleza si no damos a priori la significación de las coordenadas y del tiempo, problema al parecer insoluble, pero de tal naturaleza, que ya Gauss resolvió matemáticamente un problema muy análogo, a saber, el de la geometría de una superficie situada en un espacio euclídeo. ¿Qué es la geo- metría sobre una superficie? Comenzaremos por el plano la geometría del plano es la euclí- dea plana, mediante la cual localizamos sólidos planos en un plano podemos empezar definiendo la recta como una línea entre dos puntos tal, que colocando sobre ella reglas a partir de uno hasta alcanzar el otro, el número de las necesarias sea mínimo. Para resolver esta cuestión no hay necesidad de salir del plano, y todo lo que nos interesa ocurre en él. Tratemos ahora de hacer lo mismo en una superficie, imponiéndonos la condición de no usar punto exteriores a ella, porque la superficie debe bastar para dar la ley de localización sobre ella. En general, no se hace así por ejemplo: si se busca la curvatura se toman punto exteriores, y el problema resuelto por Gauss sea el de prescindir de tales puntos exteriores. Para localizar puntos en las superficies no vale en general la geometría euclídea, y como ejemplo podemos tomar un hemisferio y tomar un pequeño cuadrado, que podemos subdi- vir en otros más pequeños, obteniendo así un reticulado que no puede adaptarse sobre él como se puede adaptar sobre un plano. En vista de esto Gauss se planteó el problema del modo siguiente: «Es preciso dar un método para denominar los puntos de una superficie, y lo resuelvo tomando dos sistemas de curvas enteramente arbitrarios, numerando cada una de ellas de este modo: por cada pun- to de la superficie pasa una curva de cada sistema, y a cada punto corresponden así dos nú- meros llamados sus coordenadas curvilíneas, las cuales carecen de toda significación física, porque es preciso conocer las curvas. Sin embargo, con estos números se pueden describir todas las propiedades. A pesar de que las coordenadas de Gauss carecen de significación física, dan las relaciones entre las cosas reales cuando son eliminadas. Toda la geometría de la superficie es conocida si para puntos infinitamente próximos co- nocemos su distancia en cualquier región de la superficie vamos a ver cómo se ha podído traducir en fórmulas esta condición. Tomando una porción de superficie infinitamente pequeña se la puede considerar como plana y aplicarla la geometría euclídea y en particular el teorema de Pitágoras en coorde- nadas locales la distancia entre dos puntos próximos sería Si tomamos coordenadas de Gauss, y , las coordenadas locales serán en cada punto funciones de las de Gauss y la distancia tomará la forma general ds2 dX2 dX12 += x1 x2 ds2 gikd xidxk = (i, k 1, 2) =