8 6 8 A P P E N D I X H donde las g son funciones de las x, y dependen de la forma de la superficie y de la red de curvas coordenadas elegida las g caracteridan la superficie y no se pueden tomar como fun- ciones dadas de antemano. En el problema relativista general sucede algo enteramente análogo. Hemos visto: pri- mero, que no puede darse a priori la significación física de las coordenadas segundo, para una pequeña parte de nuestro universo las euclídeas son válidas, por ejemplo, en la Tierra para un observador que cae libremente, los cuerpos libres no tienen aceleración y no hay, por tanto, gravitación. Para una parte infinitamente pequeña de nuestro universo se puede hallar un sistema de coordenadas tal que respecto a él valga la relatividad especial. En la relatividad especial la magnitud referente a dos acontecimientos infinitamente próximo en el tiempo y en el espacio no de- pende del sistema inercial de coordenadas este enunciado es equivalente a la transforma- ción de Lorentz. resulta ser un invariante para las transformaciones del grupo de Lor- entz y es medible por medio de reglas y relojes, puesto que las dx, etc., son diferencias directamente observables. Hemos visto que en nuestro espacio de cuatro dimensiones podíamos tomar pequeñas partes sin gravitación, y entonces para ellas subsiste la invariancia para las coordenadas lo- cales. Si tomamos coordenadas de Gauss (cuatro números arbitrarios) que cumplan tan sólo la condición de continuidad podremos describir el universo lo mismo que Gauss la super- ficie. Las coordenadas, por si solas, no significan nada y dan al la forma que antes di- jimos. Las g que ahora son diez, representan magnitudes directamente medibles y dan una relación métrica o también definen el campo de gravitación. En efecto, sea un sistema iner- cial sin cuerpos sólidos las g toman los valores 1, 1, 1, –1, que son constantes este es el único caso especial conocido hasta ahora si hay campo gravitatorio las g no son ya constantes. Si cambiamos de sistema coordenado, por ejemplo tomamos uno en rotación, las g aparecen como coeficientes variables y puede decirse que la variabilidad de las g nos da el campo de gravitación. Resulta que tanto el campo gravitatorio como la métrica vienen dados por las g, que son funciones de las coordenadas. Estas funciones son arbitrarias por serlo las x. Si se ha comprendido bien lo que antecede, que es la parte esencial de la teoría, lo demás ya no son sino dificultades formales. La primera cuestión que se presenta es la de hallar la ley de gravitación pura es decir, en un campo donde sólo haya gravitación. Seguiremos un método análogo al de la relativi- dad especial, pues buscaremos leyes que no cambien de forma al cambiar en modo arbitra- rio de sistema de referencia, siempre que la transformación sea continua. Esta condición es muy severa y pocas leyes la satisfacen. Para tener la ley se puede fijar un límite al orden de derivación que ha de figurar en ella. En la mecánica clásica y en la ecuación de Laplace el orden de derivación máximo es el segundo y la ecuación es lineal. Podemos admitir la misma condición para la relatividad general: entonces las ecuaciones son determinadas y se encuentra la ley de gravitación. Necesitamos luego la ley de movimiento análoga a la de Galileo, y ésta la encontramos en la condición de que el punto libre describa una geodésica, pura traducción de la ley de Galileo. ds2 dx2 dy2 dz2 c2dt2 – + + = ds2 ds2