130 DOC. 75 NOBEL LECTURE 6 Überlegung. Für jede infinitesimale Punkt-Umgebung in einem beliebigen Gravitationsfelde lässt sich ein lokales Koordinatensystem von solchem Be- wegungszustande angeben, dass inbezug auf dies lokale System kein Gra- vitationsfeld existiert (lokales Inertialsystem). Inbezug auf dieses Inertial- system dürfen wir für dies unendlich kleine Gebiet die Ergebnisse der spe- ziellen Relativitätstheorie als in erster Näherung zutreffend ansehen. Solcher lokaler Inertialsysteme gibt es in jedem Raum-Zeit-Punkt unendlich viele sie sind durch Lorentz-Transformationen miteinander verknüpft. Letztere sind dadurch charakterisiert, dass sie den »Abstand» ds zweier unendlich benachbarter Punktereignisse - definiert durch die Gleichung ds2 - c~di2 - dx2 - dy2 - dz2 - invariant lassen, welcher Abstand mittelst Massstäben und Uhren mess- bar ist. x, y, z, t bedeuten nämlich Koordinaten und Zeit, gemessen inbe- zug auf ein lokales Inertialsystem. Zur Beschreibung endlich ausgedehnter raum-zeitlicher Gebiete bedarf man beliebiger Punkt-Koordinaten in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, die nichts anderes leisten als eine eindeutige Bezeichnung der Raum-Zeit- Punkte durch je 4 Zahlen xx, x3, x3, ,r4, welche der Stetigkeit dieser 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit gerecht wird (Gauss’sche Koordinaten). Das allgemeine Relativitätsprinzip findet dann seinen mathematischen Aus- druck darin, dass die allgemeine Naturgesetze ausdrückenden Gleichungs- systeme für alle derartigen Koordinatensysteme gleich lauten. Da sich die Koordinaten-Differentiale des lokalen Inertialsystems linear durch die Differentiale dxv eines Gauss’schen Koordinatensystems aus- drücken, so erhält man bei Verwendung des letzteren für den Abstand ds zweier Ereignisse einen Ausdruck von der Gestalt d Ä (gfjLV gVfx) Die guv, welche stetige Funktionen der xr sind, bestimmen die Metrik in der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit, indem ds als eine mittels Mass- stäben und Uhren messbare (absolute) Grösse definiert ist. Diese näm- lichen Grössen gav beschreiben aber inbezug auf das Gauss’sohe Koordi- natensystem auch das Gravitationsfeld, dessen Wesenseinheit mit der phy- sikalischen Ursache der Metrik wir früher festgestellt haben. Der Fall der Gültigkeit der speziellen Relativitätstheorie für endliche Gebiete charakteri- siert sich dahin, dass bei passender Wahl des Koordinatensystems die g V für endliche Gebiete von den xv unabhängig sind. Gemäss der allgemeinen Relativitätstheorie drückt sich das Gesetz der

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DOC. 7 5 NOBEL LECTURE 129 5 Aber sie konnte doch nicht voll befriedigen - ganz abgesehen von den Quanten-Schwierigkeiten, inbezug auf deren wirkliche Lösung alle Theorie bis jetzt sich als ohnmächtig erwies. Die spezielle Relativitätstheorie be- vorzugt ebenso wie die klassische Mechanik gewisse Bewegungszustände - nämlich die der Inertialsysteme - gegenüber allen übrigen Bewegungs- zuständen. Dies war eigentlich schwerer zu ertrügen als die Bevorzugung eines einzigen Bewegungszustandes, wie es die Theorie des ruhenden Licht- äthers tat denn diese dachte einen Realgrund für diese Bevorzugung, nämlich den Lichtäther. Eine Theorie, welche von Vorneherein keinen Be- wegungszustand bevorzugt, muss befriedigender erscheinen. Ferner erregt die schon oben erwähnte Unklarheit in der Definition des Inertialsystems bezw. in der Formulierung des Trägheitssatzes Bedenken, die ihre ent- scheidende Bedeutung durch den Erfahrungssatz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse erhalten, auf Grund folgender Überlegung. Sei K ein Inertialsystem ohne Schwerefeld, K' ein relativ zu K gleich- förmig beschleunigtes Koordinatensystem. Dann ist das Verhalten mate- rieller Punkte inbezug auf K' dasselbe, wie wenn K' ein Inertialsystem wäre, inbezug auf welches ein homogenes Gravitationsfeld vorhanden ist. Auf Grund der empirisch bekannten Eigenschaften des Schwerefeldes erweist sich demnach die Definition des Inertialsystems als hinfällig. Die Über- zeugung liegt nahe, dass jedes beliebig bewegte Bezugssystem mit jedem andern für die Formulierung der Naturgesetze gleichwertig sei, dass es also hinsichtlich endlich ausgedehnter Gebiete physikalisch bevorzugte Beweg- ungszustände überhaupt nicht gebe (Allgemeines Relativitätsprinzip). Die Durchführung dieses Gedankens erfordet eine noch tiefere Modi- fikation der geometrisch-kinematischen Grundlagen als die spezielle Rela- tivitätstheorie. Die aus letzterer gefolgerte Lorentz-Kontraktion führt näm- lich zu dem Ergebnis, dass inbezug auf ein gegen ein (gravitationsfeld- freies) Inertialsystem K beliebig bewegtes System K' die Lagerungsgesetze der euklidischen Geometrie für starre (relativ zu K' ruhende) Körper nicht gelten. Damit verliert auch das kartesische Koordinatensystem seinen Sinn hinsichtlich der Inhaltsforderung. Analoges gilt inbezug auf die Zeit dieselbe lässt sich inbezug auf K' nicht mehr sinnvoll durch die Anzeige gleich beschaffener, inbezug auf K' ruhender Uhren oder durch das Gesetz der Lichtausbreitung definieren. Verallgemeinernd kommt man zu dem Resultat, dass Gravitationsfeld und Metrik nur verschiedene Erscheinungs- arten desselben physikalischen Feldes sind. Die formale Beschreibung dieses Feldes erlangen wir durch folgende

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DOC . 75 NOBEL LECTURE 131 7 Punkt-Bewegung im reinen Gravitationsfeld durch die Gleichung der geo- dätischen Linie aus. In der Tat ist die geodätische Linie die mathema- tisch einfachste, welche in dem Spezialfalle der konstanten guy in die Gerade tibergeht. Wir haben hier also die Übertragung von Galilei’s Trägheitssatz in die allgemeine Relativitätstheorie vor uns. Das Aufsuchen der Feldgleichungen kommt mathematisch auf die Frage nach den einfachsten allgemein kovarianten Differentialgleichungen hinaus, denen die Gravitationspotentiale guv unterwerfen werden können. Diese Gleichungen sind dadurch bestimmt, dass sie keine höheren als die zweiten Ableitungen der guy nach den xv und diese nur linear enthalten sollen, welche Bedingung diese Gleichungen als eine sinngemässe Übertragung der Poisson’schen Feldgleichung der Newton’sehen Gravitationstheorie in die allgemeine Relativitätstheorie erscheinen lässt. Die angedeuteten Überlegungen führten zur Gravitationstheorie, welche die Newton’sche Theorie als erste Näherung ergibt und darüber hinaus die Perihelbewegung des Merkur, die Lichtablenkung durch die Sonne und die Rotverschiebung der Spektrallinien im Einklang mit der Erfahrung1 ergibt. Um die Basis der allgemeinen Relativitätstheorie zu vervollständigen, muss noch das elektromagnetische Feld in dieselbe eingeführt werden, wel- ches nach unserer gegenwärtigen Überzeugung auch das Material darstellt, aus dem wir die Elementargebilde der Materie aufzubauen haben. Es ge- lingt auch ohne Schwierigkeit die Maxwell’schen Feldgleichungen in die allgemeine Relativitätstheorie zu übertragen. Diese Übertragung ist eine völlig eindeutige, wenn man nur annimmt, dass die Gleichungen keine hö- heren als die ersten Differentialquotienten der gar enthalten, und dass sie in der geläufigen Maxwell’schen Form im lokalen Inertialsystem gelten. Ferner gelingt es leicht, die Feldgleichungen der Gravitation in einer durch die Maxwell’schen Gleichungen vorgeschriebenen Weise durch elektromag- netische Glieder so zu ergänzen, dass sie die gravitierende Wirkung des elektromagnetischen Feldes enthalten. Eine Theorie der Materie haben diese Feldgleichungen nicht geliefert. Um die felderzeugende Wirkung ponderabler Massen in die Theorie auf- zunehmen, musste man deshalb (wie in der klassischen Physik) die Materie in einer approximativen, phänomenologischen Darstellung in die Theorie einführen. 1 Inbezug auf die Rotverschiebung ist die Übereinstimmung mit der Erfahrung allerdings [5] noch nicht ganz gesichert.

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