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75 NOBEL LECTURE 133
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Ein
zweites Problem, das
gegenwärtig
die
Geister
besonders
lebhaft
beschäftigt,
ist
das
der Wesens-Einheit
des
Gravitationsfeldes und
des elek-
tromagnetischen
Feldes.
Der
nach
Einheitlichkeit der Theorie
strebende
Geist
kann
sich
nicht damit zuirieden
geben,
dass zwei
ihrem
Wesen
nach
voneinander
ganz
unabhängige
Felder existieren
sollen.
Man sucht
nach
einer
mathematisch einheitlichen
Feldtheorie,
in welcher
das
Gravitationsfeld
bezw.
das
elektromagnetische
Feld
nur
als verschiedene
Komponenten
bezw.
Er-
scheinungsformen des gleichen
einheitlichen
Feldes
aufgefasst
sind,
wobei
die
Feldgleichungen womöglich
nicht mehr
aus
logisch
voneinander
unab-
hängigen
Summanden
bestehen.
Die
Gravitationstheorie, d. h.
vom
Standpunkt
des
mathematischen
Formalismus betrachtet
die
Riemann’sche
Geometrie,
soll
so
verallgemeinert
werden, dass
sie die Gesetze des
elektromagnetischen
Feldes
mit
umfasst.
Leider können wir
uns
bei dieser
Bemühung
nicht auf
empirische
Tat-
sachen stützen
wie
bei der
Ableitung
der Gravitationstheorie
(Gleichheit
der
trägen
und
schweren
Masse),
sondern
wir sind auf
das
Kriterium der
ma-
thematischen
Einfachheit
beschränkt, das
von
Willkür nicht frei ist. Der
gegenwärtig
als
am erfolgreichsten
erscheinende
Versuch ist der auf
Ge-
danken
von
Levi-Civita, Weyl
und
Eddington
aufgebaute,
die Riemann’sche
metrische Geometrie durch
die
allgemeinere
Theorie des affinen Zusammen-
hanges zu
ersetzen.
Für
die
Riemann’sche
Geometrie
ist
die
Voraussetzung
charakteristisch,
dass zwei
unendlich
benachbarten
Punkten
ein »Abstand» ds
zugeordnet
wird, dessen
Quadrat
eine
homogene
Funktion
zweiten Grades
der
Koor-
dinaten-Differentiale ist.
Hieraus folgt
(abgesehen von gewissen
Realitäts-
verhältnissen) die
Gültigkeit
der euklidischen Geometrie in
jedem
unendlich-
kleinen
Gebiet. Es
ist
also
zu
jedem
Linienelement
(bezw.
Vektor)
in
einem
Punkte
P
ein
paralleles
und
gleiches
Linienelement
(bezw.
Vektor)
durch
jeden
gegebenen,
infinitesimal
benachbarten
Punkt P
zugeordnet
(affiner
Zusammenhang).
Die
Riemann’sche
Metrik bestimmt
einen affinen
Zusammenhang.
Ist aber
umgekehrt
ein
affiner
Zusammenhang
(Gesetz
der
infinitesimalen
Parallelverschiebung)
mathematisch
gegeben, so
existiert im
Allgemeinen keine
Riemann’sche
Massbestimmung, aus
welcher
er
sich ab-
leiten
Hesse.
Der
wichtigste
Begriff
der Riemann’schen
Geometrie,
die »Raumkrüm-
mung»,
auf
welchem
auch die
Gravitationsgleichungen
beruhen,
gründet
sich
ausschliesslich
auf
den »affinen
Zusammenhang».
Gibt
man
einen solchen
in
einem
Kontinuum,
ohne
erst
von
einer
Metrik
auszugehen, so
hat
man
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